Zeige, dass die Verknüpfung der Punktspiegelungen eine Verschiebung ist. Ist C eindeutig?

Question

Aufgabe:

Es seien A und B zwei verschiedene Punkte der Ebene. Zeigen Sie, dass die Verknüpfung S_A ◦ S_B der Punktspiegelungen S_A und S_B eine Verschiebung ist und in der Form V_(B,C) mit einem geeigneten Punkt C dargestellt werden kann. Ist C eindeutig bestimmt?

Problem/Ansatz:

Ich verstehe einfach nicht, wie diese Verschiebungen funktionieren. Die Verschiebung bezieht sich ja auf 2 Punkte. Wird dann, wenn ich bspw. schreibe V_(B,C)(A) einfach der Punkt A auf die Die Strecke BC abgebildet (verschoben)? Wie funktioniert das?

Danke!

Comments

Warum zeichnest du nicht in dein Koordinatensystem 2 Punkte A und B  , nimmst einen dritten P und spiegelst zuerst  P an A, den gespiegelten Punkt P' dann an B,  sieh dir die Verschiebung von P nach P'' an , du solltest sehen dass er um den Vektor 2AB verschoben ist.

Gruß lul

Answer 1

Sind a und b die Ortsvektoren der Punkte a und b.

Dann ist das Bild von 0 bei der Spiegelung an A der

Punkt mit dem Ortsvektor 2a.

Dieser an B gespiegelt gibt einen Punkt X, für dessen

Ortsvektor x gilt \(  \frac{2a+x}{2}=b \) also x=2a-2b = 2(a-b).

Also ist das Bild von 0 bei der Hinterausführung der

beiden Spiegelungen der Punkt mit OV 2(a-b).

D.h.  0 wurde mit dem Vektor \(2\vec{AB} \) verschoben.

Siehe auch: https://www.mathelounge.de/356222/beweis-verkettung-punktspiegelungen-verschiebung-ersetzt