Bestimmen sie die Taylorreihe

Question

Aufgabe: Taylorreihe

Funktion f(x)= ln(x) ,   x=3

a) Bestimmen Sie T3(x, f, x0), das Tayloypolynom 3. Grades von f mit Entwicklungspunkt x0.
b) Bestimmen Sie die Taylorreihe von f um den Entwicklungspunkt x0.
c) Bestimmen Sie den Konvergenzradius ρ und untersuchen die Taylorreihe auf Konvergenz für x = x0 + ρ und x = x0 − ρ.

Problem/Ansatz:

Hi, ich habe bei der ersten Teilaufgabe a das Taylorpolynom 3.Grades berechnet und rausbekommen:

ln3 + 1/3 *(x-3)-1/18*(x-3)^2+1/81*(x-3)^3.

Meine Frage ist, ob das nötig war für a) oder der letzte Part ausgereicht hätte. Da ich bei b) leider nicht weiß wie ich nun weitermachen soll und dafür keinen Ansatz habe. An die Teilaufgabe c) habe ich mich noch nicht gewagt. :)

Ich bedanke mich im Vorhinein für jegliche Hilfe.

Comments

a) stimmt

b) Für die Taylor-Reihe benötigst du die \(n\)-te Ableitung von \(\ln(x)\). Erkennst du denn ein Muster bei den Ableitungen?

\(\ln(x)\)

\(\ln'(x)=1/x\)

\(\ln'(x)=-1/x^2\)

\(\ln''(x)=2/x^3\)

\(\ln'''(x)=-6/x^4\)

...

Wie sieht \(f^{(n)}(x)\) aus?

---

Meine Vermutung wäre: fn(x)=-(1)n+1*(n-1)!*x-n, was stelle ich nun damit an?

Answer 1

Hallo

in deiner n ten Ableitung sind noch Fehler, vergleiche mal mit f⁽³⁾

Wenn du die Ableitung richtig hast ersetzt du x durch 3 und multiplizierst mit 1/n!*(x-3)^n^, dann hast du die TR wenn du das als Summe über n schreibst-

also einfach f⁽ⁿ⁾(3) in die allgemeine Taylorformel einsetzen.

Gruß lul