Hey liebe Mathelounge,
ich muss mit Hilfe einer vollständigen Induktion zeigen, dass eine Taylorreihe im Punkt x0 einer Funktion f(x) gleicht. Ich habe diverse Erkenntnisse, weiß aber nicht, wie ich diese verwenden kann. Vielleicht hat hier einer eine klugen Lösungsweg, den er gerne teilt.
Aufgabe:
\(f(x) = ln(1+x)\) mit \(D \rightarrow \mathbb{R}\) und \(D \subseteq \mathbb{R}\)
Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass \(f(x)\) durch die Taylorreihe
\(T(x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n\)
an der Stelle \(x_0=0\) dargestellt werden kann.
Problem/Ansatz:
Eigentlich müssen wir doch nur gucken, welchen Wert die Funktion \(T(x)\) in der Stelle \(x_0\) hat. Für \(T(x_0)\) erhalten wir 0 durch die Multiplikation mit \(x^n\).
Wenn wir \(f(x_0)\) berechnen erhalten wir auch 0. Somit eine richtige Aussage. Wo muss man da eine Induktion machen und wie soll man eine Induktion bei der gefolgerten Gleichung \(0=0\) machen? Ist das eine Fangfrage?
Tut mir leid für die komischen Zeilenumbrüche, ich weiss nicht, wie die kommen.