Taylorreihe von cos(x) an der Stelle x0=0. Als Summe und Formel

Question

f(x)= cos(x) = 1

f'(x)= -sin(x) = 0

f''(x)= -cos(x) = -1

f'''(x)= sin(x) = 0

f''''(x)= cos(x) =  1

x₀=0

f(x)≈f(x₀)+f'(x₀)/1!(x-x₀)¹+f''(x₀)/2!(x-x₀)²+f'''(x₀)/3!(x-x₀)³+f''''(x₀)/4!(x-x₀)⁴

f(x)≈ 1+0/1(x-0¹-1/2(x-0²)+0/6(x-0)³+1/24(x-0)⁴

f(x)≈ 1-1/2x²+1/24x⁴

So das jetzt als Summe darstellen. Also x¹ und x³ fallen weg. Ich sehe, dass es in zweier Schritten geht...

So sieht meine Summe aus:

\( \sum \limits_{n=0}^{\infty} 1-\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{4}}{4 !} \)

Ich hoffe das stimmt..

Answer 1

Zunächst mal ist der Anfang "1 - x^2/2 + x^4/24 ..." völlig richtig.

Die Darstellung als Summe ist aber unsinnig. Weißt du generell wie das mit dem Summenzeichen Funktioniert. 

Wie schreibe ich mit Summenzeichen

1 + 2 + 3 + ...

0 + 2 + 4 + ...

1 + 3 + 5 + ...

Und wie schreibe ich dann COS(x) als Taylorreihe

 

Achtung: Lösung erst anschauen, wenn du es selber probiert hast.

COS(x) = Σ(k = 0 bis ∞) (-1)^k·x^{2·k}/(2·k)!

Comments

PS: Bitte verwende Wolframalpha um eventuell schon mal vorab eine Lösung zu bekommen mit der Du vergleichen kannst.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=series+cos%28x%29

---

Hi Mathecoach :)

na wenigstens ist der Anfang richtig :)

ja also schon... das 1 + 2 + 3 + ... kann man ja so schreiben:

∑ (k=0 bis ∞) n  ??

naja bei den anderen weiß ich nicht.

Ich weiß dass k der Index ist also Laufvariable und 0 ist der Startwert. Und oben ist der Endwert. Bei diesem Beispiel ist das glaube ich unendlich, weil man unendlich zahlen aufsummmieren kann oder nicht? Und was danach kommt kann ich nicht erklären..

Ich wusste nicht wie ich das auf Wolframalpha eingeben sollte...danke jetzt weiß ich es und kann es auch für die Zukunft machen:)

---

es ist wichtig das du in der Summe auch den Laufindex verwendest

∑ (k = 0 bis ∞) k oder ∑ (n = 0 bis ∞) n

Gemischt macht das keinen Sinn.

0 + 2 + 4 + ... = ∑ (k = 0 bis ∞) 2*k

1 + 3 + 5 + ... = ∑ (k = 0 bis ∞) 2*k + 1

---

Hey Mathecoach das macht Sinn!!!

Ich verstehe das langsam Oo  also hab ich das verstanden, aber beim cos(x) kommen ja noch die Ableitungen dazu :( und (x-0)ⁿ also die n-te Ableitung...wie summiere ich das??

COS(x) = Σ(k = 0 bis ∞) (-1)^k·x^2·k/(2·k)!

wieso (-1)?? da steht doch +1... ??

ok ^2*k hab ich auch verstanden, weil es immer in zweier Schritte geht (hätte ich bis zum 8 Polynom gemacht, hätte man das auch gesehen oder?)

ok (2*k)! weiß ich auch :(

aber ich komme halt nie selber drauf :(

---

f(x) = COS(x)
f'(x) = -SIN(x)
f''(x) = -COS(x)
f'''(x) = SIN(x)
f''''(x) = COS(x)

f(0) = 1
f'(0) = 0
f''(0) = -1
f'''(0) = 0
f''''(0) = 1

COS(x) = f(0)/0!·x^0 + f'(0)/1!·x^1 + f''(0)/2!·x^2 + f'''(0)/3!·x^3
COS(x) = 1 + 0/1!·x^1 + (-1)/2!·x^2 + 0/3!·x^3 + ...
COS(x) = 1/0!·x^0 - 1/2!·x^2 + 1/4!·x^4 - 1/6!·x^6 + ...

Jetzt setzt man das zu einer Summenformel zusammen

---

Ok Danke für deine Hilfe :)

ich versuche das gerade mit sin(x) :)

---

Dafür findest du hier bestimmt schon die Lösung. Hattest du doch bereits gefragt oder nicht ?

https://www.mathelounge.de/124156/entwickle-funktion-gleichung-sinx-satz-taylor-potenzreihe

---

Ah stimmt :)

Ich finde keine Aufgaben mehr :( hast du vielleicht welche? Aber einfache :)

---

Nimm vielleicht folgende Aufgabe.

---

Ohh ok ich mache aber nur die c)

die a) und b) kann ich (noch) nicht bei e funktionen. Nur bei normalemn Funktionen:)

---

Kannst du denn die Ableitung der Funktion bilden?

---

Ehm Mathecoach :)

ich hab ein Problem

wenn ich bis zu 2.Ableitung mache und dann in die Ableitung für x 4 einsetze kommen immer komma zahlen raus ...aber du meintest ja dass ich dann zb einfach e⁴ lassen soll, weil das präziser ist.. das problem ist jetzt wie rechne ich  das 2e⁴/2 = e⁴ ?? ist das richtig??

ja schon:

f'(x)= e^x/(x-3)²

f''(x)= 2e^x/(x-3)³

oder?

---

ja. dann würde man e^4 stehenlassen. kleiner tipp. schau eventuell was wolframalpha daraus macht.

---

Ok gut :)

jap mach ich:)