Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass f(x) durch die Taylorreihe T(x) an der Stelle x_0 dargestellt

Question

Hey liebe Mathelounge,

ich muss mit Hilfe einer vollständigen Induktion zeigen, dass eine Taylorreihe im Punkt x₀ einer Funktion f(x) gleicht. Ich habe diverse Erkenntnisse, weiß aber nicht, wie ich diese verwenden kann. Vielleicht hat hier einer eine klugen Lösungsweg, den er gerne teilt.

Aufgabe:

\(f(x) = ln(1+x)\) mit \(D \rightarrow \mathbb{R}\) und \(D \subseteq \mathbb{R}\)

Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass \(f(x)\) durch die Taylorreihe

        \(T(x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n\)

an der Stelle \(x_0=0\) dargestellt werden kann.

Problem/Ansatz:

Eigentlich müssen wir doch nur gucken, welchen Wert die Funktion \(T(x)\) in der Stelle \(x_0\) hat. Für \(T(x_0)\) erhalten wir 0 durch die Multiplikation mit \(x^n\).

Wenn wir \(f(x_0)\) berechnen erhalten wir auch 0. Somit eine richtige Aussage. Wo muss man da eine Induktion machen und wie soll man eine Induktion bei der gefolgerten Gleichung \(0=0\) machen? Ist das eine Fangfrage?

Tut mir leid für die komischen Zeilenumbrüche, ich weiss nicht, wie die kommen.

Comments

Tut mir leid für die komischen Zeilenumbrüche, ich weiss nicht, wie die kommen.

Schließe \(\LaTeX\) in \( und \) ein, anstatt in $$ und $$ um Zeilenumbrüche zu verhindern.

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Die Formulierung der Aufgabe ist wirklich merkwürdig.

1. Dass eine Taylorreihe im Entwicklungspunkt (hier 0) mit dem Funktionswert übereinstimmt ist allgemeingültig und trivial.

2. Die Taylorreihe wird mit Hilfe der Ableitungen von f gebildet. Die allgemeine Darstellung der n-ten Ableitung von f kann mit vollständiger Induktion hergeleitet werden.

3. Die Frage, für welche x f(x)=T(x) gilt, wird oft mit einem sogenannten Restglied untersucht. Habt Ihr so etwas besprochen? Wenn ja, wie habt Ihr das Restglied formuliert?

Answer 1

Zu zeigen: \(f^{(n)}(0)=(-1)^{n-1}(n-1)!\).

Hier nur der Induktionsschritt für die Bestimmung der Koeffizienten

der Taylor-Reihe:

\(f^{(n)}(x)=(-1)^{n-1}(n-1)!(x+1)^{-n}\Rightarrow \)

\(f^{(n+1)}(x)=-(-1)^{n-1}(n-1)!n(x+1)^{-(n+1)}=(-1)^n n!(x+1)^{-(n+1)}\),

also \(f^{(n+1)}(0)=(-1)^nn!\)

Comments

Hallo,

Danke erstmal für die Antwort. Mir ist nicht ganz klar, wie sie auf die zu zeigende Formel kamen. Könnten sie darauf noch mal kurz eingehen bitte.

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Berechne \(f^{(n)}(0)\) für \(n=1,2,3,4\)

und mache eine Vermutung über das Bildungsgesetz.

Der Sinn der Induktion ist es dann, deine Vermutung

zu beweisen.

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Ahh okay, gut dann haben wir bewiesen dass diese Vorschrift für Ableitungen an der Stelle 0 von f(x) gilt. Und wie zeige ich jetzt dass dies der Ableitungen der Taylorreihe an \(x_0\) entspricht ?

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Der n-te Koeffizient der Taylor-Reihe ist per Definition

\(\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\), also \(\frac {(-1)^{n+1}(n-1)!}{n!}=(-1)^{n+1}\frac{1}{n}\).

Answer 2

Hallo

ich denke dass du einfach durch Induktion die nte Ableitung von ln(x+1) an der Stelle 0 zeigen sollst.

Gruß lul