Aufgabe:
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Aufgabe 1. Sei
\( H=\left\{A \in M_{2 \times 2}(\mathbb{C}) \mid A=A^{*}:=\bar{A}^{t}\right\} \)
der reele Vektorraum aller hermitschen \( 2 \times 2 \) Matrizen.
(a) Zeigen Sie, dass für alle \( A \in H \) gilt, \( \operatorname{dass} \operatorname{det}(A) \) reelwertig ist.
Definiere
\( \mathrm{Q}: \mathrm{H} \rightarrow \mathbb{R}, \mathrm{A} \mapsto \operatorname{det}(A) \)
(b) Zeigen Sie, dass \( Q \) eine quadratische Form ist und berechnen Sie die Signatur der zugehörigen Bilinearform \( \mathrm{S}_{\mathrm{Q}} \).
Sei nun
\( \mathrm{U}=\{A \in H ; \operatorname{Spur}(A)=0\} \subseteq H . \)
(c) Finden Sie \( \mathrm{U}^{\perp} \) bezüglich \( S_{\mathrm{Q}} \).
(d) Berechnen Sie die Signatur \( \mathrm{S}_{\mathrm{Q}_{\mid \mathrm{u} \times \mathrm{u}}}: \mathrm{U} \times \mathrm{U} \rightarrow \mathbb{R} \).
Hey Leute :),
Zu der Aufgabe a) wäre mein Ansatz, dass die Eigenwerte von hermiteschen Matrizen reellwertig sind. Da die Determinante einer Matrix A als Produkt der Eigenwerte von A dargestellt werden kann, ist die Determinante reellwertig, denn die Faktoren sind alle reellwertig.
Ich hätte nun eine Frage zu b). Wie kann ich denn die Abbildung Q definieren?
Bilde ich die Matrix A auf das Produkt der Eigenwerte von der Matrix A?
Um zu zeigen, dass Q eine quadratische Form ist brauche ich doch nur die Eigenschaften einer quadratischen Form zu überprüfen. Aber dafür müsste ich erstmal Q definieren.
Könnte mir einer weiterhelfen?
Liebe Grüße :)
