Zeige, für alle x, y ∈ R gilt f(x, y) = f(x + y, 0)

Question

Aufgabe:

Es sei f : R2 −→ R eine stetig differenzierbare Funktion mit ∂f/∂x = ∂f/∂y . Zeige, für
alle x, y ∈ R gilt f(x, y) = f(x + y, 0) und gebe eine konkrete Funktion, die die Bedingung erfüllt an.

Problem/Ansatz:

Hallo :)

ich dachte ich versuche erstmal f(x,y) abzuleiten und zu zeigen, dass f nur von x oder y abhängig ist und intuitiv hätte ich gesagt, ich brauche noch den Mittelwertsatz der Differentialrechnung....aber was meint ihr? Habt ihr Vorschläge oder Ideen.

Danke im Voraus ;)

Answer 1

\(\begin{aligned} f(x,y) & =f(x,0)+\frac{f(x,y)-f(x,0)}{y}\cdot y\\ f(x+y,0) & =f(x,0)+\frac{f(x+y,0)-f(x,0)}{y}\cdot y \end{aligned}\)

Wegen \(\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial y}\) ist \(\frac{f(x,y)-f(x,0)}{y} = \frac{f(x+y,0)-f(x,0)}{y}\)