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Aufgabe:

Welchen Winkel eta bilden die beiden Diagonalen e und f eines Parallelogramms ABCS miteinander, wenn die Seite a dreimal so lang ist wie die Seite b und die Diagonale e zweieinhalbmal so lang wie die Seite b ist?


Problem/Ansatz:

Hallo,

dies ist eine Übung für unsere Klausur über Trigonometrie und sie lässt mich sehr verzweifeln! Ich habe schon (gefühlt) alles probiert, von Sinus-/Kosinussatz bis Winkelsummensatz und rechtwinkliges Dreieck suchen. Ich schaffe es aber einfach nicht… Könnte mir jemand helfen! Viele, vielen Dank im Voraus!!!!IMG_1429.jpeg

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Beste Antwort

Nach Kosinussatz gilt

32 = 2.52 + 12 - 2·2.5·1·COS(γ) --> γ = 110.49°

und weiter

(f/2)2 = (2.5/2)2 + 12 - 2·(2.5/2)·1·COS(110.49°) --> f/2 = 1.854

und damit weiter

12 = (2.5/2)2 + 1.8542 - 2·(2.5/2)·1.854·COS(ε) --> ε = 30.35°

Skizze

blob.png

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Vielen, vielen Dank! Sie sind mein Retter!!!

Ja, Ihre Antwort hat mir auch geholfen! Vielen Dank! Dennoch versuchen Sie in der Zukunft mehr ausführlicher zu erklären, denn sie reden ohne Subjekt und Prädikat!

Die Seiten, die nach b umgestellt worden sind, versteht man, als ob sie ihren eigenen Wert haben und bei f/2 genauso! Weil f/2 ist 1,854b nicht 1,854!

Kleiner Tipp: Da sich Winkel bei einer zentrischen Streckung nicht ändern, kann das Parallelogramm so gestreckt werden, dass die Seite b die Länge 1 erhält. Daher kann man so viel einfacher notieren und so damit rechnen.

D.h. es werden einfach alle Längen als Vielfache von b angegeben. Aber du hast recht. Das sollte man nicht so erfahrenen Schülern vermutlich sagen. Schön, dass du es trotzdem verstanden hast.

Ja, danke sehr!

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Was willst du denn noch? Mit den Vorgaben sind die Innenwinkel des Dreiecks ABC eindeutig bestimmt.

Im Dreieck ABS (S ist der Diagonalenschnittpunkt) kannst du danach mit dem Kosinussatz f/2=BS ausrechnen.

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Arbeitsskizze:

Unbenannt.JPG


Bestimmung der Koordinaten von C:

Kreis um A  d : x2+y2=6,25b2d: x^2+y^2=6,25b^2  →    d : y2=6,25b2x2d: y^2=6,25b^2-x^2

Kreis um B c : (x3b)2+y2=b2c: (x-3b)^2+y^2=b^2

Schnitt von d und c:

(x3b)2+6,25b2x2=b2 (x-3b)^2+6,25b^2-x^2=b^2

x26bx+9b2+6,25b2x2=b2 x^2-6bx+9b^2+6,25b^2-x^2=b^2

x=14,25b26b=2,375b x=\frac{ 14,25b^2}{6b}=2,375b

y2=6,25b2(2,375b)2=0,609375b2y^2=6,25b^2-(2,375b)^2=0,609375b^2  y=0,78062475by=0,78062475b

C(2,375b0,78062475b)(2,375b|0,78062475b)

Steigung der Geraden durch A und C:m1=0,78062475b2,375b=0,328684110,33m_1= \frac{0,78062475b}{2,375b}=0,32868411≈0,33

Bestimmung der Koordinaten von D:

x2+y2=b2 x^2+y^2=b^2   schneidet  y=0,78062475by=0,78062475b→  y2=0,609375b2y^2=0,609375b^2

x2+0,609375b2=b2 x^2+0,609375b^2=b^2     →  x2=b20,609375b2=0,390625b2 x^2=b^2-0,609375b^2=0,390625b^2

x=0,625bx=-0,625bxa · b x^{a·b}

D(0,625b0,78062475b)(-0,625b|0,78062475b)

m2=0,78062475b00,625b3b=0,215344760,215m_2=\frac{0,78062475b-0}{-0,625b-3b}=-0,21534476≈-0,215

Allgemeine Formel:

tan(ε)=m2m11+m2m1\tan(ε)=|\frac{m_2-m_1}{1+m_2m_1}|

tan(ε)=0,2150,331+(0,215)0,330,59=0,59\tan(ε)=|\frac{-0,215-0,33}{1+(-0,215)\cdot 0,33}|≈|-0,59|=0,59

tan1(0,59)=30,54°\tan^{-1}(0,59)=30,54°

ε=30,54°ε=30,54°

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Die Bestimmung der Koordinaten von D ist unnötig kompliziert, das kann man direkt ablesen.

Und Du solltest erklären, warum Dein Ergebnis von dem von mc abweicht.

Das könnte mit Rundungsfehlern zusammenhängen. Eine andere Erklärung weiß ich nicht.

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