Prüfen der Homogenität und Anwendung des Eulers Theorem

Question

Die Aufgabe lautet:

Prüfen Sie, ob die Funktion f(x,y) = xy/(x²+y²) homogen ist und überprüfen Sie Eulers Theorem, wenn Sie es ist.

Nun ich glaube die Aufgabe geschafft zu haben, bin mir aber nicht sicher. Meine Lösungen stimmen mit den Musterlösungen überein, doch ist mir nicht klar ob ich den richtigen Schluss gezogen habe:

Prüfen der Homogenität:

f(tx, ty) = t²xy/(t²(x²+y²)) , t² kürzt sich weg und es bleibt f(x,y) --> die Homogenität ist null, weil kein t mehr übrig ist!?

Eulers Theorem:

f(x,y) ist homogen vom Grad k -> xf₁' + yf₂' = kf

Ich erhalte mit dieser Formel 0/(x²+y²)² und dies gibt null, deshalb ist die Homogenität 0!?

Answer 1

Du musst die partiellen Ableitungen von f ausrechnen. Und dann stimmt deine Formel

xf₁' + yf₂' = kf

auch mit k = 0.

Dein letzter Satz stimmt nicht. Er wäre ja die Rückrichtung der Eulerbeziehung.