Aufgabe:
Ein trapezformiger Kanal soll so gebaut werden, dass bei konstantem Querschnitt A (gleichschenkliges Trapez) der benetzte Umfang moglichst klein ist. Der Kanal ist charakterisiert durch die Bodenbreite x, die Wassertiefe y und den Böschungswinkel θ, gemessen mit der Senkrechten. Zeigen Sie, dass für optimale Wassertiefe gilt
y^2 = (A cos θ) / (2 − sin θ) , wobei θ = 30◦
a) Lösen Sie auch dazu das duale Problem: Maximaler Inhalt bei vorgegebenem Umfang.
b) In welchem Zusammenhang stehen die Losungen?
Problem/Ansatz:
Ich hätte jetzt mal die Formeln für Fläche und Umfang des Trapez in den hier gegebenen Größen (x, y , θ) aufgestellt und die Umfangsformel nach θ (?) abgeleitet. Die Flächenformel hätte ich auf x= umgestellt und vor dem Ableiten in die Formel für den Umfang eingesetzt. Da verschwindet mir jedoch das A beim Ableiten... Ich hab auf jeden Fall einen groben Denkfehler. Mir gehts jetzt nur mal rein um die fett geschriebene Passage. Danke!
