Zeige, dass auch der Abschluss T zusammenhängend ist.

Question

Aufgabe: Es sei (M, d) ein metrischer Raum und T ⊆ M eine Teilmenge. Es
sei T zusammenhängend. Zeige, dass auch der Abschluss T zusammenhängend ist.

Problem/Ansatz: Ich möchte eine Annahme stellen, dass Wenn der Abschluss von T nicht zusammenhängend ist und dann ein Widerspruchsbeweis anfertigen. Könnt ihr mir bitte helfen, wie ich das weiter lösen kann?

Comments

Wie habt ihr zusammenhängende Mengen definiert?

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Ein metrischer Raum M heißt zusammenhangend ¨ , wenn es keine offenen, nicht leeren Teilmengen U1 und U2 von M gibt mit
M =U1 ∪ U2; U1 ∩ U2 D = ∅
Eine Teilmenge Z eines metrischen Raumes M heißt zusammenhangend ¨ , wenn Z
bezuglich der von ¨ M auf Z induzierten Metrik ein zusammenhangender Raum ist.

Answer 1

Zunächst eine Vorbemerkung:

Ist \(O\) eine offene Teilmenge von \(M\), so gilt

\(O\cap \overline{T}\neq \emptyset\Rightarrow O\cap T\neq \emptyset\quad (*)\).

Dies erkennt man so:

\(x\in O\cap (T\cup \partial T)\Rightarrow x\in T\vee x\in \partial T\).

Ist \(x\in T\), so ist alles klar. Ist hingegen \(x\in \partial T\), so ist \(O\)

eine Umgebung eines Randpunktes von \(T\). Da jede Umgebung eines

Randpunktes von \(T\) ein Element von \(T\) enthält, folgt \((*)\).

Sei nun \(\overline{T}\) nicht zusammenhängend. Dann gibt es offene Mengen

\(O_1,O_2\subseteq M\)

mit \(\overline{T}=(O_1\cap \overline{T})\cup(O_2\cap \overline{T})\),

\((O_1\cap \overline{T}), \; (O_2\cap \overline{T})\neq \emptyset \) und

\((O_1\cap \overline{T})\cap(O_2\cap \overline{T})=\emptyset \),

Gemäß \((*)\) ist dann \(T=(O_1\cap T)\cup (O_2\cap T)\)

eine Zerlegung von \(T\) in zwei \(T\)-offene nichtleere

Teilmengen, d.h. \(T\) ist nicht zusammenhängend, q.e.d.