Liegt der Punkt auf der Geraden im Raum?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Gerade

\( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c} 6 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c} -6 \\ -2 \\ 8 \end{array}\right), \quad t \in \mathbb{R} \text {. } \)

Wahr oder Falsch: Der Punkt \( P(18|-2|-15) \) liegt auf der Geraden \( g \).

Problem/Ansatz:

Ist die Aussage jetzt wahr oder Falsch ?? gerne mit Erklärung würde es verstehen wollen.:**

Answer 1

Setze die Gerade gleich dem Punkt:-2

6-6t = 18

t= -2

einsetzen:

-4-2*(-2)= -2

0= -2 falsch -> P nicht auf g

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Vielen Dank ! Sehr gut erklärt!:*

Answer 2

\(P\in g\iff \exists t \in \mathbb{R}: \; (18, -2,-15)-(6,-4,1)=t(-6,-2,8)\),

also \(12=-6t \; \wedge \; 2=-2t \; \wedge\;  -16=8t\).

Aus der ersten Gleichung folgt \(t=-2\), aus der zweiten hingegen

\(t=-1\), Widerspruch! Es gibt also kein passendes \(t\) und damit liegt

\(P\) nicht auf der Geraden.

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Vielen Dank!