Bestimmen Sie den Abstand vom Punkt P(-6|-4| 1) zu der Geraden

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Abstand vom Punkt \( P(-6|-4| 1) \) zu der Geraden
\( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 4 \\ 2 \end{array}\right)+t\left(\begin{array}{r} 3 \\ 4 \\ -1 \end{array}\right), \quad t \in \mathbb{R} \)
Bestimmen Sie zunächst den Lotfußpunkt \( L \) des Punktes \( P \) auf der Geraden \( g \).
\( L=( \)
Wie groß ist der Abstand \( d(P, g) \) von \( P \) zu \( g \) ?
\( d(P, g)= \)

Problem/Ansatz:

Hi Leute kann mir hier jemand die Antwort nennen? Ich will es verstehen da ich bald einen Test schreibe und deswegen gerne mit Erklärung wenn es geht? Vielen Dank Leutee :**

Answer 1

Hallo,

Der Abstand eines Punktes zu einer Geraden ist der kürzeste Abstand zwischen den beiden, also der Abstand, der senkrecht vom Punkt zur Gerade geht.

Stelle die Gleichung einer Hilfsebenen in Koordinatenform auf, die P als Punkt und den Richtungsvektor der Geraden als Normalenvektor hat.

\(H:\;3x+4y-z=d\)

Koordinaten von P einsetzen:

\(3\cdot (-6)+4\cdot (-4)-1=d\\ -35=d\\H:\;3x+4y-z=-35\)

Bestimme den Lotfußpunkt (Schnittpunkt von g und H).

\(3\cdot (1+3t)+4\cdot (4+4t)-(2-t)=-34\\ t=-2 \)

In g eingesetzt ergibt den Schnittpunkt S (-5|-4|4).

Berechne den Abstand von P zu S.

\(d=\sqrt{1^2+0^2+3^2}=\sqrt{10}\)

Gruß, Silvia

Comments

Die doppelte Benutzung des Variablennamens d war sicherlich keine Absicht.

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In der Tat war das ein Versehen.