Welche Punkte der Geraden g haben vom Punkt P den Abstand a?

Question

Aufgabe:

Welche Punkte der Geraden g haben vom Punkt P den Abstand a?

g: 3x-4y=13, P(6|-5), a= \( \sqrt{50} \)

Problem/Ansatz:

Ich hätte aus dieser parameterfreien Form die Gleichung in Vektordarstellung mit Parameter (X = P + t * v) gemacht, dann kann ich aus den 2 Zeilen eine Gleichung für x und eine Gleichung für y machen. Ich brauch dann noch die Kreisgleichung, welche ich mit dem Punkt P und dem Abstand a erstellen kann. Da setze ich dann für x und für y ein und berechne mir t1 und t2, aber es kommt nicht das raus, was es dann braucht, um auf die beiden Punkte von g zu kommen. Bei den Beispielen davor habe ich g nach eine der Variablen umformen können und dann in die Kreisgleichung einsetzen können (ohne Bruch und Kommazahlen,...), die Beispiele danach funktionieren mit Geradengleichungen. Ich verstehe daher nicht, wieso ich bei diesem Beispiel scheitere... wäre für jede Hilfe dankbar, hab am Donnerstag Mathearbeit.

Comments

Warum du bei diesem Beispiel scheiterst, lässt sich ohne deine Rechnung sehr schlecht beurteilen.

Answer 1

Das Gleichungssystem

3x - 4y = 13
sqrt((6 - x)^2 + (-5 - y)^2) = sqrt(50)

hat zwei Lösungen. Das sind die Koordinaten der beiden Punkte.

Answer 2

Kreisgleichung um \(P\) mit Radius \(a\) und dann den Schnitt mit der Geraden bilden. Dazu kannst du auch hier die Gerade nach \(x\) oder \(y\) auflösen.

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Ich weiß, aber da kommt mir das falsche raus...

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Dann zeig doch deine Rechnung. Offensichtlich kennst du ja den Rechenweg. Wir können dir aber nicht helfen, wenn wir deine Rechnung nicht kennen.

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Hab leider noch keine, da mich eine Freundin nach diesem Beispiel gefragt hat und ich es ihr erklärt habe.

Mein Rechenweg wäre (hoffentlich verständlich): Normalvektor (3/-4) -> Richtungsvektor (4/3)

--> g: X= (6/-5) + t * (4/3)

-> x= 6+4t; y= -5+3t

k: (x-6)² + (y+5)² = 50 -> für x und y einsetzen, es würde Wurzel +-2 rauskommen, das hätte ich dann in g: X eingesetzt, aber es kommen mir nur irgendwelche Kommazahlen raus.

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Deine Gerade ist ja auch falsch. Der Punkt P liegt doch gar nicht auf der Geraden. Und warum gehst du über die Parametergleichung? Löse die Gerade doch einfach nur nach x oder y auf und setze in die Kreisgleichung ein.

Bei den Beispielen davor habe ich g nach eine der Variablen umformen können und dann in die Kreisgleichung einsetzen können (ohne Bruch und Kommazahlen,...),

Keine Ahnung, wieso du das nun auf Biegen und Brechen anders machen willst. Rechne halt mal mit Brüchen. Mit Dezimalzahlen sollte man sowieso nicht rechnen.

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Kannst du das bitte für mich machen? Mir kommt halt was Falsches raus...sonst würde ich nicht hier nachfragen

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Nein, das kannst du selbst. Eine Kontrolllösung siehst du oben. Ich helfe dir gerne, deine Fehler zu finden. Und wenn bei dir etwas Falsches rauskommt, dann hast du ja doch eine Rechnung, die du immer noch nicht geliefert hast!

Answer 3

3·x - 4·y = 13 --> y = 0.75·x - 3.25

Das jetzt hier einsetzen

(x - 6)^2 + (y + 5)^2 = 50

(x - 6)^2 + (0.75·x - 3.25 + 5)^2 = 50

25/16·(x^2 - 6·x + 25) = 50

x^2 - 6·x - 7 = 0 --> x = 7 ∨ x = -1

Damit jetzt auch die y-Koordinaten berechnen

y = 0.75·(7) - 3.25 = 2 → (7 | 2)

y = 0.75·(-1) - 3.25 = -4 → (-1 | -4)

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Danke für den Rechenweg. Hat geklappt :).