Zeige die Länge der Kurve

Question

Vor: Wir haben eine Fkt \( [a, b] \ni \varphi \mapsto r(\varphi) \)  die eine Kurve \( \gamma: \varphi \mapsto f(r(\varphi), \varphi) \) definiert.

Zeige, die Länge der Kurve ist gleich:
\( \int \limits_{a}^{b} \sqrt{r(\varphi)^{2}+r^{\prime}(\varphi)^{2}} \mathrm{~d} \varphi \).

Wir müssen diese Aufgabe mithilfe Polarkoordinaten lösen. Denn ein Punkt kann auch mithilfe Polark. \( (r, \varphi) \) beschrieben werden mit Zuordnung \( f:(r, \varphi) \mapsto(r \cos \varphi, r \sin \varphi) \)

Kann mir hier bitte jemand einen Tipp geben, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll? Irgendwie erscheint mir das noch nicht so ganz schlüssig womit ich anfangen soll…

Ich danke für eine Antwort:)

Comments

hallo

wie bei f(x) musst du einen Sehnenzug über n Sehnen summieren und den GW für n gegen Unendlich, bzw Sehnen Länge gegen 0   bilden.

Gruß lul

---

@lul Was du beschreibst, ist ja eine Definition, wie man die Länge definieren kann. In dieser Aufgabe soll man viel eher diese Definition auf die gegebene Funktion anwenden.

---

Also über Sehnen haben wir noch nicht mal in der Vorlesung gesprochen. Ich vermute Liszt hat recht.

---

@Mathestudent100 Hast du denn die Definition der Länge einer Kurve vorliegen (das, was ihr mit den Sehnen besprochen habt)?

---

Für einen stückweise glatten Weg \( \gamma:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}^{n} \) sei „die Länge \( L(\gamma) \) des Weges \( \gamma \) “ erklärt durch

\( L(\gamma):=\int \limits_{a}^{b}\left|\gamma^{\prime}(s)\right| d s . \)

Das ist unsere Definition zu Längen aber von Sehnen haben wir nicht gesprochen.

---

Genau, jetzt musst du also die gegebene Funktion in diese Formel einsetzen.

---

Hallo

sieh nach und schreib uns wie ihr die Länge eines Graphen, der durch f(x) beschrieben wird, oder einer Kurve, die durch c(t)=  (x(t),y(t)) beschrieben wird definiert habt.

lul

---

Na jetzt setzt du \(s = \varphi\) und \(\gamma(\varphi) = (r(\varphi)\cos \varphi , r(\varphi)\sin \varphi)\).

Du berechnest also den Vektor \(\frac d{d\varphi}\gamma(\varphi)\). Dessen Euklidische Norm ist exakt der Ausdruck in deinem Integral.

---

Wow, ich danke euch echt!!

Der Beweis ist ja relativ einfach:)