Länge stetig parametrisierte Kurve

Question

Aufgabe: u:[0,1]→ℝ² ist eine parametrisierte Kurve mit u(t)={(t,t*sin(1/t)) für t>0 und (0,0) für t=0}.

Um die Länge L(u) zu berechnen, kann man bei stetig differenzierbaren Funktionen das Integral der Norm der Ableitung verwenden. Da die Funktion (jedenfalls nach meinen Berechnungen) in t=0 nicht diffbar ist, soll ich die Länge wohl mit: sup{Summe von der Norm einzelner Punkte auf der Kurve} berechnen. Weis jedoch nicht, wie ich ansetzen soll.

Danke fürs helfen!…

Comments

Vielleicht solltest Du mal Dein Aufgabenblatt checken, ob Ihr wirklich die Länge dieser Kurve berechnen sollt.

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Wieso? Hab ich mich vertippt?

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Sollt Ihr nicht eher zeigen, dass diese Kurve nicht rektifizierbar ist?

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In der Aufgabenstellung steht, ich soll L(u) berechnen. Deine Nachfragen klingen so, als wäre die Kurve nicht rektifizierbar auf [0,1]. Heißt L(u)= unendlich?

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Falls ja, müsste ich dann mit dem Ansatz unten (Integral mit unterer Grenze, die gegen 0 läuft) L(u)=unendlich rauskriegen, oder?

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Hallo,

es handelt sich um ein bekanntes Beispiel. Ob man das mit dem Integral zeigen kann, weiß ich nicht. Der übliche Weg ist es eine Zerlegung mit den Punkten

$$t_k:=\frac{1}{0.5 \pi+k \pi}, k=0, ..,n$$

(ergänzt durch 1 und 0) zu betrachten und die Länge dieses Streckenzugs nach unten abzuschätzen.

Gruß Mathhilf

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alles klar, danke. werde es gleich mal versuchen

Answer 1

hallo

Ich würde für t >0 von t=a an integrieren und dann a->0

Gruß lul

Comments

Alles klar, werde es gleich versuchen. Stimmt es denn, dass u nicht diffbar in t=0 ist? Sonst mach ich mir umsonst die Mühe, obwohl ich direkt von 0-1 integrieren könnte…

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HALLO

ja nicht differenzierbar aber stetig.

lul

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Okay super, danke fürs Antworten. Habe da jetzt stehen: \( \int\limits_{a}^{1} \)√(1+(sin(1/t)-(cos(1/t))/t)^2. Kann man das noch klug vereinfachen oder muss ich direkt mit substitution ran?