direktes Produkt von 2 Restklassen

Question

Aufgabe:

Finde die natürlichen Zahlen a, b, c, d wobei a teilt b, b teilt c und c teilt d gilt, so dass:

Z/Za x Z/Zb x Z/Zc x Z/Zd isomorph zu Z/Z27 x Z/Z4 x Z/Z3 x Z/Z2 x Z/Z25 x Z/Z9 x Z/Z27

Problem/Ansatz: Kann mir jemand die Herangehensweise erklären ,bzw. wie man das direkte Produkt von 2 Restklassen bestimmt?

Comments

wie man das direkte Produkt von 2 Restklassen bestimmt?

Es handelt sich nicht um das direkte Produkt von
Restklassen, sondern von Restklassenringen.

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Und wie bestimme ich das ?

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Steht da wirklich der direkte Faktor Z/Z27 zweimal?
Wird wohl richtig sein. Siehe meine Antwort ...

Answer 1

Mithilfe des chinesischen Restsatzes:

\(Z/mnZ\cong Z/mZ\times Z/nZ\) für teilerfremde nat. Zahlen \(m,n\)

findet man (nach reichlichem Probieren):

\(Z/3Z\times Z/9Z\times Z/(2\cdot 27)Z\times Z/(4\cdot 25\cdot 27)Z\cong\)

\(Z/3Z\times Z/9Z\times (Z/2Z\times Z/27Z)\times (Z/4Z\times Z/25Z\times Z/27Z)\),

also \(a=3,\; b=9,\; c=54,\; d=2700\).