Wie viele Minuten nach dem Start des Ballons kommen sich der Ballon und das Kleinflugzeug am nächsten?

Question

Aufgabe:

Ein Ballon startet im Punkt A(2/5/0). Er bewegt sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit und ist nach 1 Stunde im Punkt B(4/8/1). Beim Start des Ballons befindet sich ein Flugzeug im Punkt C(10/15/1) und fliegt mit 90 km/h in Richtung u⃗ = (-1 -2 2) (alle Koordinaten in km).

Wie viele Minuten nach dem Start des Ballons kommen sich der Ballon und das Kleinflugzeug am nächsten? Wie weit sind sie in diesem Augenblick voneinander entfernt?
Problem/Ansatz:

Wie gehe ich hier vor?

Answer 1

Ballon nach t Stunden

B = [2, 5, 0] + t·[2, 3, 1]

Flugzeug nach t Stunden

F = [10, 15, 1] + t·90/|[-1, -2, 2]|·[-1, -2, 2] = [10, 15, 1] + t·[-30, -60, 60]

Minimaler Abstand

|BF| = |F - B| = |[8 - 32·t, 10 - 63·t, 59·t + 1]| = √(8474·t^2 - 1654·t + 165)

|BF|' = (8474·t - 827)/√(8474·t^2 - 1654·t + 165) = 0 --> t = 827/8474 = 0.09759 h = 5:51 Minuten

|BF| = √(8474·(827/8474)^2 - 1654·(827/8474) + 165) = 9.181 km

Comments

PS: Man kann auch den quadratischen Abstand minimieren. Das kommt auf gleiche heraus. Man muss sich nur nicht um die Wurzel kümmern.

---

t·[-30, -60, 60]

Danke! aber wie kommt man auf den Richtungsvektor bei Flugzeug?

---

Davor hatte ich doch die Rechnung hingeschrieben.

90/|[-1, -2, 2]|·[-1, -2, 2]

90/√(1^2 + 2^2 + 2^2)·[-1, -2, 2]

90/√9·[-1, -2, 2]

90/3·[-1, -2, 2]

30·[-1, -2, 2]

[-30, -60, 60]

Answer 2

Stelle die beiden Geradengleichungen in Parameterform auf.

Comments

\(b: \quad \vec{x} = \overrightarrow{OA} + r\cdot \overrightarrow{AB}\)          Gerade b wie "Ballon"

\(f: \quad \vec{x} = \overrightarrow{OC} + s\cdot \vec{u}\)              Gerade f wie "Flugzeug"

\(\overrightarrow{AB}\) ist \( \sqrt{14} \) km lang und wird in 60 Minuten zurückgelegt.

\( \vec{u} \) ist 3 km lang und wird in 2 Minuten zurückgelegt.

Man kann s durch einen konstanten Faktor und r ersetzen.

---

Der Ursprung heißt \(O\), nicht \(0\).

---

und wie rechne ich dann die Zeit aus?

---

Ersetze s durch einen konstanten Faktor und r.

r ist dann ein Sechzigminutenzeitintervall.

Oder ersetze r durch 1/60 t und s durch 1/2 t um es direkt in Minuten zu haben.

Und stelle dann eine Funktion für die euklidische Distanz zwischen Ballon und Flugzeug

t → d(t)

auf.