Kovarianz berechnen, ist es so richtig?

Question

Aufgabe:

Wir betrachten wieder die gemeinsame Verteilung des Zufallsvektors (X, Y ). X kann die Werte 1, 2, 3 annehmen und
Y die Werte 1, 2.

Folgende Wahrscheinlichkeiten sind bekannt:
P(X = 1, Y = 1) = 0.1, P(X = 2, Y = 1) = 0.06,
P(X = 3, Y = 2) = 0.24, P(X = 1) = 0.5, P(Y = 1) = 0.2

Man soll nun die Kovarianz berechnen.

Problem/Ansatz:

Cov(X,Y)=\( \sum\limits_{i,j=1}^{\infty}{(xi-µ)*(yj-v)*P(X=xj, Y=yi} \)

würde man so die Varianz ausrechnen? dann einfach jede Möglichkeit hinten bei der wahrscheinlichkeit beachten? es wäre dann E(x)= 1,78 und E(y)=1,8... und die Kovarianz hätte ich dann 0,016.... kann das stimmen und mir jemand sagen wie man sonst vorgeht? und in die summe dann einsetzen für jedes X also einmal für 1,2,3 und bei Y dann für 1,2 und dann alle Kombinationen davon beachten

DANKE

Answer 1

Deine Ergebnisse sind richtig.

Ich schlage aber vor, die folgende Formel zu benutzen:
$$Cov(X,Y) = E(XY)-E(X)E(Y)$$

Zur Berechnung eignet sich dabei die Tabellenform:

	X=1	X=2	X=3
Y=1	0.1	0.06	0.04	0.2
Y=2	0.4	0.16	0.24	0.8
	0.5	0.22	0.28	1

XY	X=1	X=2	X=3	E(Y)=1.8
Y=1	1	2	3
Y=2	2	4	6
E(X)=1.78				E(XY)=3.22

So kannst du schnell und übersichtlich E(X)=1.78, E(Y)=1.8 und E(XY)=3.22 bestimmen.