Woher kommt bei der Umformung das Minus Zeichen?

Question

Aufgabe:

\( \sum \limits_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}\frac{1}{n} = -\frac{1}{n} (\sum \limits_{k=0}^{n}(-1)^{k}\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}-1) \)

Problem/Ansatz:

Woher kommt das Minuszeichen vor 1/n?

Answer 1

Aloha :)

$$\phantom=\sum\limits_{k=1}^n(-1)^{k\pink{+1}}\binom{n}{k}\green{\frac1n}=\sum\limits_{k=1}^n(-1)^{k}\binom{n}{k}\underbrace{\pink{(-1)^1}\green{\frac1n}}_{=(-\frac1n)}=-\frac1n\sum\limits_{k=\color{blue}1}^n(-1)^k\binom{n}{k}$$$$=-\frac1n\left(\sum\limits_{k=\color{blue}0}^n(-1)^k\binom{n}{k}{\color{blue}-(-1)^0\binom{n}{0}}\right)=-\frac1n\left(\underbrace{\sum\limits_{k=\color{blue}0}^n(-1)^k\binom{n}{k}}_{=(1-1)^n=0}{\color{blue}-1}\right)=\frac1n$$

Answer 2

\( \frac{1}{n} \) ·(-1)^k+1=\( \frac{1}{n} \) ·(-1)^k·(-1)¹=(-1)^k·(-\( \frac{1}{n} \)). Und Ausklammern.

Answer 3

(-1)^(k+1) = (-1)^k *(-1)^1 = - (-1)^k