Wo kommt der Nenner bei dieser Umformung her?

Question

Aufgabe:

Ich habe in der Klausureinsicht eine Aufgabe falsch gemacht und verstehe die Musterlösung leider auch nicht.
Wollte das nun mit dem Integralrechner lösen, aber auch so komme ich nicht weiter.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe insbesondere nicht wo die 81 herkommt, kann mir das jemand erklären?

Text erkannt:

Aufgabe:
\( \int 3^{10 x-14} \pi^{10 x-14} \mathrm{~d} x \)
Exponentialfunktionen zusammenfassen:
\( =\int \frac{59049^{x-1} \pi^{10 x-14}}{81} \mathrm{~d} x \)
Substituiere \( u=59049^{x-1} \pi^{10 x-14} \longrightarrow \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}=10 \ln (\pi) \cdot 59049^{x-1} \pi^{10 x-14}+\ln (59049) \cdot 59049^{x-1} \pi^{10 x-14} \)
\( (\text { Rechenweg }) \longrightarrow \mathrm{d} x=\frac{1}{10 \ln (\pi) \cdot 59049^{x-1} \pi^{10 x-14}+\ln (59049) \cdot 59049^{x-1} \pi^{10 x-14}} \mathrm{~d} u \)
\( =\frac{1}{81(10 \ln (\pi)+\ln (59049))} \int 1 \mathrm{~d} u \)
Wir lösen nun:
\( \int 1 \mathrm{~d} u \)
Konstantenregel anwenden:
\( =u \)

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die automatische Umformung ist so schlecht, die ist noch nicht mal falsch. Folgendes ist passiert:$$\phantom{=}3^{10x-14}\cdot\pi^{10x-14}=3^{(10x-10)-4}\cdot\pi^{10x-14}=3^{10(x-1)}\cdot3^{-4}\cdot\pi^{10x-14}$$$$=(3^{10})^{x-1}\cdot\frac{1}{3^4}\cdot\pi^{10x-14}=59049^{x-1}\cdot\frac{1}{81}\cdot\pi^{10x-14}$$

Sinnvoll wäre es gewesen, die beiden Faktoren unter demselben Exponenten zusammenzufassen:

$$\phantom{=}\int3^{10x-14}\cdot\pi^{10x-14}dx=\int(3\pi)^{10x-14}dx=\frac{1}{(3\pi)^{14}}\int\left((3\pi)^{10}\right)^xdx$$$$=\frac{1}{(3\pi)^{14}}\left((3\pi)^{10}\right)^x\cdot\frac{1}{\ln\left((3\pi)^{10}\right)}+c=\frac{(3\pi)^{10x}}{(3\pi)^{14}\cdot10\ln(3\pi)}+c=\frac{(3\pi)^{10x-14}}{10\ln(3\pi)}+c$$Dabei habe ich folgendes Standard-Integral verwendet:

$$\int a^x\,dx=\int e^{x\ln(a)}dx=\frac{e^{x\ln(a)}}{\ln(a)}+c=\frac{a^x}{\ln(a)}+c$$

Answer 2

3^(10x-14)*pi^(10x-14) = (3pi)^(10x-14) nach Potenzgesetz: a^c*b^c = (ab)^c

-> F(x)= (3pi)^(10x-14)/(ln(3pi)*10) +C

Das Integral ergibt sich hier schnell aus der Betrachtung der 1. Ableitung.

Es gilt:

f(x) = a^(bx+c) -> f '(x)= a^(bx+c)*b*lna , b*lna ist eine Konstante

Man sieht sofort, dass bei F(x) das Produkt b*lna im Nenner erscheinen muss.

Der konstante Faktor b*lna verschwindet so beim Ableiten von F(x).

Die Musterlösung ist in diesem Fall eher umständlich / zu aufwändig.

Man kann das Ergebnis quasi ablesen, wenn man die Ableitungsgesetze bestimmter, einfacher Exponentialfunktionen kennt.