Wie kommt es zu dieser Umformung von | √(n^4 + 1) - n^2 | zu einem Bruch?

Question

Wie wurde hier die Umformung gemacht?

$$ |\sqrt { { n }^{ 4 }+1 } -{ n }^{ 2 }|=\frac { 1 }{ \sqrt { { n }^{ 4 }+1 } +{ n }^{ 2 } }  $$

Betrag auflösen?

aber wie kommt man dann auf den Bruch? Einfach mit Wurzel dividiert?

Answer 1

Du könntest dir ja mal überlegen warum √(n^4 + 1) immer größer als n^2 ist.

√(n^4 + 1) > n^2

n^4 + 1 > n^4

1 > 0

Warum die das also umwandeln ist nicht ganz klar aber gut

√(n^4 + 1) - n^2

Erweitern zur 3. binomischen Formel

= (√(n^4 + 1) - n^2) * (√(n^4 + 1) + n^2) / (√(n^4 + 1) + n^2)

Ausmultiplizieren

= (n^4 + 1 - n^4) / (√(n^4 + 1) + n^2)

Zusammenfassen

= 1 / (√(n^4 + 1) + n^2)

Auch dieser Term ist immer positiv und wenn er im Betrag steht, kann der Betrag weggelassen werden.