Zahl c der Funktion berechnen wo Menge der vom Graphen f und x-Achse eingeschlossenen Fläche 20 ist

Question

Ein Beispiel bei dem ich nicht weiterkomme lautet:

Die Funktion f ist gegeben durch f(x)=-x^2+c, wobei c eine beliebige positive reelle Zahl ist.
Berechnen Sie, für welche Zahl c die Fläche der Menge, die vom Graphen von f und der x-Achse eingeschlossen wird, genau 20 beträgt.

Answer 1

Die Nullstellen sind ±√c

Also Integral von -√c bis √c über  -x² +c dx muss gleich 20 sein.

Stammfunktion ist    -1/3 *x³ + x*c

also  -1/3 *(√c)³ + (√c)*c  -  (   -1/3 *(-√c)³ + (-√c)*c  ) = 20

-1/3 *c*(√c) + (√c)*c  + 1/3 *c*(-√c) ^-   (-√c)*c  ) = 20

-1/3 *c*(√c) + (√c)*c  - 1/3 *c*(√c)  +  (√c)*c  ) = 20

4/3*c*(√c) = 20

c*(√c) = 15

    (√c)³ = 15

     √c =  3. Wurzel 15

        c =  3. Wurzel 225

Answer 2

Hi,

Die Funktion ist symmetrisch und es reicht aus, rauszufinden, wann der Teil im ersten Quadranten (also "rechts oben") 10 ergibt. Das erleichtert etwas die Rechnung. Zudem wird der Graph von ±√c begrenzt (uns interessiert nur √c, da wir das andere durch die Symmetrie erklären):

$$\int_0^{\sqrt c} -x^2+c \; dx = [-\frac13x^3+cx]_0^{\sqrt c}= -\frac13\sqrt{c}^3+\sqrt{c} = 10$$

Nun mit 3 multiplizieren.

$$-c^{\frac32}+3c^{\frac32} = 30 $$

$$c^{\frac32} = 15$$

$$c = 15^{\frac23} = \sqrt[3]{225}$$

Alles klar?

Grüße

Comments

leider noch nicht ganz, wieso ist die obere Grenze die WURZEL von C  :/

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Es ist ja

f(x) = -x^2+c

Damit sind die Nullstellen:

-x^2+c = 0   |+x^2

x^2 = c

x = ±√c

Und damit die die Begrenzungen des Intervalls :).

Mit 3 habe ich multipliziert um den Bruch wegzubekommen. In der Folgezeile sind die Zahlen gleich übersichtlicher.

Alles klar?

Answer 3

Der Graph von f ist eine nach unten geöffnete Parabel mit dem Scheitel (0/c). Die Nullstellen x₁=-√c x₂=√c sind die Integrationsgrenzen: Also soll gelten: ∫ in den Grenzen von -√c bis √c (-x²+c)dx=20 oder 4c^3/2/3=20 und daher c=15^2/3≈6,0822.

Answer 4

Hallo BI,

f(x) = -x² + c    .  Nullstellen:   x = ± √c

Wegen der Symmetrie zur y-Achse gilt

Fläche = 2 * ₀∫^√c -x² + c  = 2 *  [ -1/3 x³ + cx ]₀^√c   =  ...   =  4/3 * √(c³)  = 20   ⇒   c³ = 225 

⇒   c = ³√225  

 Gruß Wolfgang