Aufgabe:
Seien \( D_{1}, D_{2} \) Normalbereiche mit \( D_{1} \subset D_{2}^{\circ} \). Betrachten Sie folgende partielle Differentialgleichung: Gegeben ist \( g(x) \) für \( x \in \partial D_{2} \). Gesucht sind \( u_{1} \in C^{2}\left(A_{1}\right) \) und \( u_{2} \in C^{2}\left(A_{2}\right) \) mit \( A_{1} \supset D_{1} \) und \( A_{2} \supset D_{2} \backslash D_{1} \) offen so dass
\( \begin{aligned} \Delta u_{1}(x) & =0 \quad \forall x \in D_{1} \\ \Delta u_{2}(x) & =0 \quad \forall x \in D_{2} \backslash D_{1} \\ u_{2}(x) & =g(x) \quad \forall x \in \partial D_{2} \\ u_{1}(x) & =u_{2}(x) \quad \forall x \in \partial D_{1} \\ \frac{\partial u_{1}}{\partial n} & =5 \frac{\partial u_{2}}{\partial n} \quad \forall x \in \partial D_{1} \end{aligned} \)
Zeigen Sie, dass obiges System höchtens eine Lösung
\( u(x):=\left\{\begin{array}{ll} u_{1}(x) & x \in D_{1} \\ u_{2}(x) & x \in D_{2} \backslash D_{1} \end{array}\right. \)
Problem/Ansatz:
… Habe nicht wirklich eine Idee, wie ich bei dem Beispiel vorgehen soll.
