Die Reihe P∞ n=1 (−1)n n ist?

Question

Text erkannt:

Die Reihe \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n} \) ist
1. konvergent, aber nicht absolut konvergent
2. absolut konvergent, aber nicht konvergent
3. absolut konvergent und konvergent
4. divergent

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Reihenkonvergenz 1

Answer 1

Aloha :)

Da die Folge \((a_n\coloneqq\frac1n)\) eine montone Nullfolge ist, konvergiert die Reihe$$\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n\cdot\frac1n\quad\to\quad\text{konvergiert}$$gemäß des Leibniz-Kriteriums.

Wenn wir aus der Summe nur die Terme mit geraden \(n\) herausgreifen, gilt:$$\sum\limits_{{n=2}\atop{n\text{ gerade}}}^\infty(-1)^n\cdot\frac1n=\sum\limits_{k=1}^\infty(-1)^{2k}\cdot\frac{1}{2k}=\frac12\sum\limits_{k=1}^\infty\frac1k\to\infty$$

Würden wir die Summanden der Originalsumme so umordnen, dass zuerst alle Summanden mit geraden \(n\) addiert würden, läge keine Konvergenz vor. Die Reihe konvergiert daher nicht absolut.