Zeigen Sie: \mathfrak{s l}(n, K):=\{A ∈ \operatorname{Mat}(n ; K): spur A=0\} ist eine Unteralgebra von \mathfrak{g …

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Sei $K$ ein Körper und $n \in \mathbb{N}$. Mat $(n ; K)$ vesehen mit dem Kommutator [, ] ist eine $K$-Algebra, die wir mit $\mathfrak{g l}(n, K)$ bezeichnen. Sei $E \in \operatorname{Mat}(n ; K)$ die Einheitsmatrix und $J=\left(\begin{array}{cc}0 & E \\ -E & 0\end{array}\right) \in \operatorname{Mat}(2 n ; K)$.

Text erkannt:

Zeigen Sie: $\mathfrak{s l}(n, K):=\{A \in \operatorname{Mat}(n ; K):$ spur $A=0\}$ ist eine Unteralgebra von $\mathfrak{g l}(n, K)$ aber nicht von $\operatorname{Mat}(n ; K)$. Zeigen Sie außerdem \( \m

Problem:
Mir ist unklar wie genau ich hier jetzt die Kriterien überprüfen soll

Comments

Meine Charakterisierung von Unteralgebren bezog sich auf eine

besondere Klasse von Algebren, was hier leider nicht passt.

Answer 1

$sl(n,K)$ ist der Kern der linearen Abbildung Spur:Mat(n,K)$\to$K und damit

ein Untervektorraum von $gl(n,K)$. Meiner Meinung nach

muss man nun nur noch nachweisen, dass $sl(n,K)$ unter

$[,]$ abgeschlossen ist. Es sollte bekannt sein, dass

Spur(AB)=Spur(BA) ist für beliebige Matrizen $A,B\in$ Mat(n,K).

Daher ist Spur([A,B])=Spur(AB-BA)=Spur(AB)-Spur(BA)=0, also

insbesondere $A,B\in sl(n,K)\Rightarrow [A,B]\in sl(n,K)$

$sl(n,K)$ ist aber für $n>1$ unter der normalen Matrixmultiplikation

nicht abgeschlossen.

Z.B. $A=diag(1,-1,0,\cdots,0)\in sl(n,K)$ aber

$A\cdot A=diag(1,1,0,\cdots,0)\notin sl(n,K)$.