Aloha :)
Wir rotieren die folgende Funktion um die x-Achse:$$f(x)=\frac{1}{3(x-3)}\quad;\quad x\in[4;5]$$
Wir picken uns einen Funktionswert \(f(x)\) an der Stelle \(x\) heraus. Bei seiner Rotation um die x-Achse entsteht ein Kreis mit Mittelpunkt auf der x-Achse und Radius \(r=f(x)\). Die Fläche dieses Kreises ist \(\pi\,r^2=\pi f^2(x)\).
Um das Volumen des Rotationskörpers zu erhalten, müssen wir alle diese Kreisflächen entlang der x-Achse summieren. Das machen wir mit dem Integral:$$V=\int\limits_4^5\pi f^2(x)\,dx=\frac\pi9\int\limits_4^5\frac{1}{(x-3)^2}\,dx=\frac\pi9\left[-\frac{1}{(x-3)}\right]_4^5=\frac\pi9\left(-\frac12+1\right)=\frac{\pi}{18}$$
