Beweis Lineare Algebra mit Kosinussatz

Question

Aufgabe

Wie beweist man dies:

Text erkannt:

2.1 Aufgabe 1
Man zeige mit Hilfe des Kosinussatzes im \( \mathbb{R}^{n} \), dass für Vektoren \( x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \) und \( y=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right) \) stets gilt:
\( \|x\| \cdot\|y\| \cos (\alpha)=x^{T} \cdot y . \)

Answer 1

Hallo,

auch in \(\mathbb{R}^n\) gilt, dass zwei Vektoren \(x\) und \(y\) ein Dreieck aufspannen mit den Seiten(-Vektoren) \(x\), \(y\) und \(y-x\). Der Winkel \(\alpha\) liege zwischen \(x\) und \(y\). Stellt man für dieses Dreieck den Kosinussatz auf, erhält man:$$\begin{aligned}\|x\|^2+\|y\|^2 - 2\|x\|\|y\|\cos(\alpha)&= \|y-x\|^2 \\ \|x\|^2+\|y\|^2 - 2\|x\|\|y\|\cos(\alpha) &= (y-x)^T(y-x)\\  \|x\|^2+\|y\|^2 - 2\|x\|\|y\|\cos(\alpha) &= y^Ty - y^Tx - x^Ty +x^Tx &&|\, y^Tx = x^Ty\\ \|x\|^2+\|y\|^2 - 2\|x\|\|y\|\cos(\alpha) &= \|y\|^2 - 2x^Ty + \|x\|^2 &&|\,-\left(\|x\|^2+\|y\|^2\right)\\ -2\|x\|\|y\|\cos(\alpha) &= -2x^Ty &&|\, \div(-2)\\ \|x\|\|y\|\cos(\alpha)  &= x^Ty\end{aligned}$$Gruß Werner