Satz von Heine Borel

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Menge

\(\displaystyle G=\bigcup_{m=1}^{\infty} \bigcup_{k=1}^{\frac{3^{m}-1}{2}}\left(\frac{2 k-1}{3^{m}}, \frac{2 k}{3^{m}}\right) \)

Man zeige, dass \( F:=[0,1] \backslash G \) kompakt ist und dass

\(\displaystyle F=\bigcap_{m=1}^{\infty} \bigcup_{k=0}^{\frac{3^{m}-1}{2}}\left[\frac{2 k}{3^{m}}, \frac{2 k+1}{3^{m}}\right] \)

gilt. Man beweise weiter, dass \( F \) kein Intervall enthält. Hinweis: Verwenden Sie für die Kompaktheit den Satz von Heine-Borel.

Problem/Ansatz:

Ich bitte hier für eine Lösung bitte.Ich verstehe es gar nicht.Danke :)

Comments

Was sagt denn der Satz von Heine Borel?

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Eine Menge K ⊂ Rn ist kompakt genau dann, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.

Könntest du es bzw jemand mal aufzeigen,wie die Lösung zu der Frage aussehen würde mit den Rechenwegen.Bin bald in der Klausurphase:)

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Dass F beschränkt ist, sollte klar sein. Die Abgeschlossenheit folgt aus der Offenheit von G. Warum ist G offen?