Bestimme die lokalen Extremalstellen

Question

Sei f: ℝ²→ℝ gegeben durch

f(x,y)= x³+y³-3xy

Wie bestimme ich die lokalen Extremalstellen von f.

Comments

Schau mal hier:

https://www.mathelounge.de/506074/stationare-punkte-bestimmen-und-klassifizieren

Answer 1

\(f(x,y)= x^3+y^3-3xy\)

\(\frac{df(x,y)}{dx}= 3x^2-3y\)    \( x^2-y=0\)    \( y=x^2\)

\(\frac{df(x,y)}{dy}= 3y^2-3x\)     \( y^2-x=0\)     \(x^4-x=0\)

  \(x_1=0\)   \(y_1=0\)        \(x_2=1\)  \(y_2=1\)

\(\frac{d^2f(x,y)}{dx^2}= 6x\)  → Einsetzen von \(x_1=0\) → \( 6*0=0 \) Hier liegt nun kein Extremalwert vor, sondern ein Sattelpunkt oder Terrassenpunkt.

\(\frac{d^2f(x,y)}{dx^2}= 6x\)  → Einsetzen von \(x_2=1\) → \( 6*1=6>0 \) Minimum

Answer 2

Definitheit der Hesse-Matrix an den Nullstellen des Gradienten bestimmen.

• positiv definit: an der Nullstellen des Gradienten liegt ein Tiefpunkt vor.
  
• negativ definit: an der Nullstellen des Gradienten liegt ein Hochpunkt vor.
  
• indefinit: an der Nullstellen des Gradienten liegt ein Sattelpunkt vor.
  

Answer 3

Aloha :)

Kandidaten für Extremwerte von$$f(x;y)=x^3+y^3-3xy$$sind alle kritischen Punkte der Funktion. Das sind alle Punkte, bei denen der Gradient verschwindet. Daher rechnen wir:$$\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{3x^2-3y}{3y^2-3x}\stackrel!=\binom{0}{0}\implies\left\{\begin{array}{c}3x^2-3y=0\\3y^2-3x=0\end{array}\right\}\implies\left\{\begin{array}{c}y=x^2\\x=y^2\end{array}\right.$$Wegen der Quadrate muss \(x\ge0\) und \(y\ge0\) gelten. Weiter muss gelten:$$x=y^2=(x^2)^2=x^4\implies x^4-x=0\implies x(x^3-1)=0\implies x=0\;\lor\;x=1$$Zusammen mit \((y=x^2)\) erhalten wir zwei kritische Punkte:$$\pink{K_1(0|0)}\quad;\quad \pink{K_2(1|1)}$$

Zur Prüfung dieser beiden Kandidaten auf tatsächliche Extremwerte können wir die zugehörige Hesse-Matrix bemühen:$$H(x;y)=\left(\begin{array}{rr}6x & -3\\-3 & 6y\end{array}\right)\quad\implies$$$$H(0;0)=\left(\begin{array}{rr}0 & -3\\-3 & 0\end{array}\right)\quad;\quad H(1;1)=\left(\begin{array}{rr}6 & -3\\-3 & 6\end{array}\right)$$

Bei jeder quadratischen Matrix ist die Summe der Eigenwerte die Summe der Elemente auf der Hauptdiagonalen und das Produkt der Eigenwerte gleich der Determinante. Bei 2x2-Matrizen kann man daraus die beiden Eigenwerte \(\lambda_1\) und \(\lambda_2\) sehr schnell bestimmen:

$$K_1(0;0)\implies \lambda_1+\lambda_2=0\;\land\;\lambda_1\cdot\lambda_2=-9\implies\lambda_1=-3\;\land\;\lambda_2=3$$$$K_2(1;1)\implies \lambda_1+\lambda_2=12\;\land\;\lambda_1\cdot\lambda_2=27\implies\lambda_1=3\;\land\;\lambda_2=9$$

Für den Kandidaten \(K_1(0;0)\) haben die beiden Eigenwerte unterschiedliche Vorzeichen, daher ist die Hesse-Matrix indefinit und der Kandidat ist ein Sattelpunkt.

Für den Kandidaten \(K_2(1;1)\) sind beide Eigenwerte positiv, daher ist die Hesse-Matrix positiv definit und der Kandidat ist ein Minimum.