Die Wahrscheinlichkeit, dass in einem gegebenen Jahr eine Unfall mit Sachschaden

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Eine Versicherungsgesellschaft versichert eine gleiche Anzahl männlicher und weiblicher Fahrender.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein männlicher Fahrender in einem gegebenen Jahr eine Unfall mit Sachschaden hat, sei durch \( \alpha \) gegeben. Diese (Unfall-)Ereignisse für Männer seien unabhängig von den anderen Jahren gegeben. Die analoge Wahrscheinlichkeit für Frauen sei durch \( \beta \) gegeben und es gelte dieselbe Unabhängigkeitsannahme.
Angenommen die Versicherungsgesellschaft wählt rein zufällig eine Person aus ihren versicherten Fahrenden.
1) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die ausgewählte Person in diesem Jahr einen Unfall mit Sachschaden verursacht?
2) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die ausgewählte Person in zwei aufeinanderfolgenden Jahren einen Unfall mit Sachschaden verursacht?
3) Seien \( A_{1} \) and \( A_{2} \) die Ereignisse, dass die zufällig ausgewählte Person im ersten bzw. im ersten und zweiten Jahr einen Unfall mit Sachschaden hat. Zeigen Sie, dass \( \mathbb{P}\left(A_{2} \mid A_{1}\right) \geq \mathbb{P}\left(A_{1}\right) \).
4) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die verunfallte Person eine Frau sei.

Answer 1

1) Zweistufiges Baumdiagramm. Erste Ebene Geschlecht. Zweite Ebene Unfall mit Sachschaden. Dann regeln für Baumdaigramme anwenden.

2) Zweistufiges Baumdiagramm. Erste Ebene erstes Jahr. Zweite Ebene zweite Jahr.

3) Definition \(\mathcal{P}(A|B) = \frac{\mathcal{P}(A\cap B)}{\mathcal{P}(B)}\) anwenden.

4) Baumdiagramm aus Teilaufgabe 1) umdrehen und die entsprechende Wahrscheinlichkeit auf der zweiten Stufe berechnen.

Answer 2

1) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die ausgewählte Person in diesem Jahr einen Unfall mit Sachschaden verursacht?

1/2*α + 1/2*β = 1/2*(α + β)

2) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die ausgewählte Person in zwei aufeinanderfolgenden Jahren einen Unfall mit Sachschaden verursacht?

1/2*α*α + 1/2*β*β = 1/2*(α^2 + β^2)

3) Seien A1 and A2 die Ereignisse, dass die zufällig ausgewählte Person im ersten bzw. im ersten und zweiten Jahr einen Unfall mit Sachschaden hat. Zeigen Sie, dass P(A2 | A1) ≥ P(A1).

1/2*(α^2 + β^2)/(1/2*(α + β)) ≥ 1/2*(α + β)

1/2*(α^2 + β^2) ≥ (1/2*(α + β))^2

1/2*(α^2 + β^2) ≥ 1/4*(α^2 + 2αβ + β^2)

2*(α^2 + β^2) ≥ α^2 + 2αβ + β^2

2*α^2 + 2*β^2) ≥ α^2 + 2αβ + β^2

α^2 - 2αβ + β^2 ≥ 0

(α - β)^2 ≥ 0

4) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die verunfallte Person eine Frau sei.

1/2*β / (1/2*(α + β)) = β / (α + β)