Skalarprodukt, Darstellungsmatrix, Gram-schmidt

Question

Aufgabe:

Sei n∈N. Mit der Formel b(f,g)=⟨f,g⟩=∫¹₀ f(t)g(t) dt wird ein Skalarprodukt auf dem R-Vektorraum R[t]≤n definiert. Wir betrachten hier den Fall n=1.

Sei B die Basis (1,t) von R[t]≤1.
Geben Sie B[b]B an.

Wenden Sie das Gram-Schmidt-Verfahren zur Berechnung einer Orthonormalbasis auf B an.Dies führt auf die Orthonormalbasis C. Geben Sie C an.

Aus der Transformationsformel angewandt auf B und C ergibt sich B[b]B=A^t⋅A. Geben Sie A an.

Problem/Ansatz:

Also die Berechnung der Darstellungsmatrix ist ja eigentlich recht simpel. Man bildet die Basisvektoren ab und schreibt diese dann als Koordinaten bzgl der Basis aber hier verstehe ich das nicht. Was soll den dann nämlich 1(t)t(t) sein

Comments

Du verwechselst die Darstellungsmatrix einer Bilinearform

mit der Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung.

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ok danke aber was ist z.B. b(1,1) =∫1(t)*1(t) dt = ∫t^2 dt oder was

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\(b(1,1)=\int_0^1 1\cdot 1 dt=\int _0^1 1dt=t\big|_0^1=1\).

\(b(1,t)=\int_0^1 tdt=t^2/2\big|_0^1=1/2\), etc ...

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C ist dann (1, √1/12) oder ?

Answer 1

\(b(1,1)=\int_0^1 1\cdot 1 dt=t\big|_0^1=1\)

\(b(1,t)=b(t,1)=\int_0^1 tdt=t^2/2\big|_0^1=1/2\),

\(b(t,t)=\int_0^1 t\cdot t dt=t^3/3\big|_0^1=1/3\).

Comments

ne ich mein die Orthonormalbasis ist dann  (1, √1/12)

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Das kann keine Basis von \(\mathbb{R}[t]_{\leq 1}\) sein;

denn dieser Raum muss ja \(t\) enthalten.