Lösungen für Gleichung mit Additionstheorem finden

Question

Aufgabe:

Sei \( x:=\sin (\pi / 3) \). Benutzen Sie die Additionstheoreme, um zu beweisen, dass \( x \) die Gleichung \( 0=3 x-4 x^{3} \) erfüllt, und leiten Sie von dort drei Möglichkeiten für den Wert von \( x \) ab. (Es ist also möglich, Aussagen über \( \sin (\pi / 3) \) zu treffen, ohne \( \pi / 3 \) zu kennen!) Formulieren Sie alles als Behauptung und beweisen Sie sie.

Idee: \( \sin (\pi)=\sin \left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right) \)

Habe leider absolut keine Ahnung wie ich diese Aufgabe lösen soll. Die Additionstheoreme kenne ich natürlich, allerdings weiß ich nicht so recht wie ich damit die Aufgabe lösen soll

Bin für jede Hilfe dankbar

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wir rechnen den rechten Austruck aus und prüfen, ob er Null ist:

$$\phantom=3x-4x^3$$$$=3\sin\left(\frac\pi3\right)-4\sin^3\left(\frac\pi3\right)$$$$=3\sin\left(\frac\pi3\right)-3\sin^3\left(\frac\pi3\right)-\sin^3\left(\frac\pi3\right)$$$$=3\sin\left(\frac\pi3\right)\underbrace{\left(1-\sin^2\left(\frac\pi3\right)\right)}_{=\cos^2\left(\frac\pi3\right)}-\sin^3\left(\frac\pi3\right)$$$$=3\sin\left(\frac\pi3\right)\cos^2\left(\frac\pi3\right)-\sin^3\left(\frac\pi3\right)$$$$=2\sin\left(\frac\pi3\right)\cos^2\left(\frac\pi3\right)+\sin\left(\frac\pi3\right)\cos^2\left(\frac\pi3\right)-\sin^3\left(\frac\pi3\right)$$$$=\underbrace{2\sin\left(\frac\pi3\right)\cos\left(\frac\pi3\right)}_{\sin\left(\frac\pi3+\frac\pi3\right)}\cos\left(\frac\pi3\right)+\sin\left(\frac\pi3\right)\underbrace{\left(\cos^2\left(\frac\pi3\right)-\sin^2\left(\frac\pi3\right)\right)}_{=\cos\left(\frac\pi3+\frac\pi3\right)}$$$$=\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\cos\left(\frac\pi3\right)+\sin\left(\frac\pi3\right)\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)$$$$=\sin\left(\frac{2\pi}{3}+\frac\pi3\right)$$$$=\sin(\pi)=0$$

Comments

Frage. Wielange tippst du an einer so schönen Darstellung?

Optisch perfekt, Herr Nicht-Leerer! :)

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Wow, vielen Dank für diese ausführliche Antwort.

Das hilft mir wirklich sehr weiter!

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@ggT22: Danke dir ;)

Ich nutze Tex bzw. Latex seit mehr als 30 Jahren, das geht quasi automatisch.

Zusätzlich hilft die Zwischenablage von Windows sehr. Wenn man zum Einfügen nicht "Strg"+"V" drückt, sondern "Windows"+"V", erhält man die letzten 10 Einträge aus der Zwischenablage und kann dann bequem auswählen.

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Die 'Idee' (s. Frage) war doch$$\sin (\pi)=\sin \left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right)$$also einfach hinschreiben und die Additionstheoreme anwenden:$$\phantom{=}\sin \left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right)\\ = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right)+\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right)\\ = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)^2-\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)^2\right)+2\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)^2\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\\ = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\left(3\underbrace{\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)^2}_{=1-\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)^2}-\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)^2\right)\\ =\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\left(3-4\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)^2\right) \\ =0$$Da \(\) sicher \(\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\ne 0\) ist, muss gelten:$$\begin{aligned} 3-4\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)^2&=0&&|\, \text{Subst.:} \space \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=x\\ 3-4x^2&=0\\\implies x&=\frac{1}{2}\sqrt{3}\end{aligned}$$

Frage. Wielange tippst du an einer so schönen Darstellung?

Genau wie bei Tschakabumba ist das erstens Übung und zweitens 'Copy&Paste' - keine 10min für die ganze Antwort. Und das war noch viel.

Answer 2

Ich denke, du sollst x^3 = sin(pi/3)^3  damit berechnen.

vgl:

sin^3(x) = sin^2(x)*sin(x)

https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Sinus