Funktionsschar untersuchen g_{a}(x)=x⁴-8x³+ax²

Question

Eine ganzrationale Funiktion 4. Grades berührt im Koordinatenursprung die x-Achse und hat bei \( x=4 \) eine Nullstelle und bei \( (2 \mid 16) \) ein lokales Maximum.

Zeigen Sie, dass die Funktion zur Funktionsschar g_{a}(x) gehört und vervollständigen Sie den Verlauf von K.

g_{a}(x) = x^4 - 8x^{3} + ax^{2}

bräuchte hier hilfe komm einfach nicht weiter

Comments

Vgl. auch https://www.mathelounge.de/102030/zuordnung-von-funktion-und-ableitung-zu-gegebenen-graphen

Zumindest einen Anfang kannst du dort entnehmen.

Answer 1

ga(x) = x^4 - 8·x^3 + a·x^2
ga'(x) = 4·x^3 - 24·x^2 + 2·a·x

ga(0) = 0
sicher immer erfüllt.

ga'(0)
sicher immer erfüllt.

ga(4) = 0
16·a - 256 = 0
a = 16

ga(2) = 16
4·a - 48 = 16
a = 16

ga'(2) = 0
4·a - 64
a = 16

Die Funktion lautet also
g16(x) = x^4 - 8·x^3 + 16·x^2
g16'(x) = 4·x^3 - 24·x^2 + 32·x


Skizze:

Answer 2

Eine ganzrationale Funktion 4. Grades berührt im Koordinatenursprung die x-Achse und hat bei \( x=4 \) eine Nullstelle und bei \( (2 \mid 16) \) ein lokales Maximum.

\(f(x)=a*x^2*(x-4)*(x-N)\)

\( (2 \mid 16) \):

\(f(2)=a*2^2*(2-4)*(2-N)=-8a*(2-N)\)

\(-8a*(2-N)=16\)

\(a*(N-2))=2\)    \(a=\frac{2}{N-2}\)

\(f(x)=\frac{2}{N-2}*x^2*(x-4)*(x-N)\)

\(f(x)=\frac{2}{N-2}*[(x^3-4x^2)*(x-N)]\)

Bei \( (2 \mid 16) \) ein lokales Maximum:

\(f´(x)=\frac{2}{N-2}*[(3x^2-8x)*(x-N)+(x^3-4x^2)]\)

\(f´(2)=\frac{2}{N-2}*[(3*2^2-8*2)*(2-N)+(2^3-4*2^2)]=0\)

\(N=4\)  \(a=\frac{2}{4-2}=1\)

\(f(x)=x^2*(x-4)*(x-4)\)

\(g_a(x) = x^4 - 8x^3 + ax^2\)

\(x^2*(x-4)^2=x^4 - 8x^3 + ax^2\)

\(x^4-8x^3+16x^2=x^4 - 8x^3 + ax^2\)

\(a=16\)