Bestimme die allgemeine Lösung des Gleichungssystems

Question

Aufgabe:

Gegeben ist das  Gleichungssystem Ax=b, mit

A= \( \begin{pmatrix} 3 & 4 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 5 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \) und b = \( \begin{pmatrix} 12\\-6 \end{pmatrix} \)

Bestimme die allgemeine Lösung des Gleichungssystems

Problem/Ansatz:

\(\begin{pmatrix} 1 & \frac{4}{3} & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 4 \\ 2 & 5 & 0 & 1 & 0 & -6 \end{pmatrix} \)

Erste Zeile durch 3

\(\begin{pmatrix} 1 & \frac{4}{3} & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 4 \\ 0 & \frac{7}{3} & 0 & 1 & -\frac{2}{3} & -14 \end{pmatrix} \)

2 Zeile - 2*(1 Zeile)

\(\begin{pmatrix} 1 & \frac{4}{3} & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 4 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{3}{7} & -\frac{2}{7} & -6 \end{pmatrix} \)

2 Zeile mit 3/7 multiplizieren

Weiß jemand wie es weitergeht bzw. wie man auf die allgemeine Lösung kommt ?

Answer 1

Aloha :)

Hiier musst du gar nichts rechnen. Du hast nämlich bereits zwei Spalten, die aus lauter Nullen und genau einer Eins bestehen. Stärker kann man nicht mehr vereinfachen:$$\begin{array}{rrrrr|r|l}x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 & =\\\hline3 & 4 & 0 & 0 & \pink1 & 12\\2 & 5 & 0 & \pink1 & 0 & -6\end{array}$$

Stelle die Gleichungen nach der Variablen mit der pinken Eins um:$$x_5=12-3x_1-4x_2\quad;\quad x_4=-6-2x_1-5x_2$$und schreibe alle Lösungen explizit auf:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\-6-2x_1-5x_2\\12-3x_1-4x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\-6\\12\end{pmatrix}+x_1\begin{pmatrix}1\\0\\0\\-2\\-3\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}0\\1\\0\\-5\\-4\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\\0\end{pmatrix}$$

Da insbesondere der Nullvektor in den Lösungen liegt (\(x_1=12\), \(x_2=-6\) und \(x_3=0\)) ist der Lösungsraum ein 3-dimensionaler Untervektorraum mit den 3 Richtungsvektoren als eine mögliche Basis.