Berechnen Sie die geometrische Fläche zwischen x-Achse und Funktionsgraphen

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die geometrische Fläche zwischen x-Achse und Funktionsgraphen, d.h. $$\int |f(x)| dx$$ folgender Funktionen

a) f(x)=x-1 für x aus [0,1]

b) f(x)=x^2-2x für x aus [-1,3]

Problem/Ansatz:

Wie rechne ich das denn wenn da ein Betrag ist?

Ich würde das so machen

$$\int_0^1 |x-1| dx= [|1/2x^2-x|]1_0= |1/2*1-1|-|1/2*0-0|= |-1/2|-0=1/2$$

Answer 1

Integriere nicht über Nullstellen mit Vorzeichenwechsel hinweg und bilde nachher die Summe der Beträge der einzelnen Integrale.

a)

f(x) = x - 1 = 0 → x = 1

∫ (0 bis 1) f(x) dx = - 1/2

A = 1/2

b)

f(x) = x^2 - 2·x = x·(x - 2) = 0 --> x = 0 ∨ x = 2

∫ (-1 bis 0) f(x) dx = 4/3

∫ (0 bis 2) f(x) dx = - 4/3

∫ (2 bis 3) f(x) dx = 4/3

A = 4/3 + 4/3 + 4/3 = 4