Die Potenzmenge ist die größte \sigma -Algebra

Question

Sei \( X \) eine Menge und \( \mathcal{A} \) eine \( \sigma \)-Algebra in \( X \).

Beweisen Sie:
a) \( 2^{X} \) ist die größte
b) und \( \{\emptyset, X\} \) ist die kleinste \( \sigma \)-Algebra in \( X \).

Answer 1

a)

1. Begründe warum \(X\in 2^X\) ist.
2. Begründe warum \(A^\complement\in 2^X\) für jedes \(A\in 2^X\) ist.
   
3. Begründe warum \(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\in 2^X\) für jede Famillie \((A_n)_{n\in\mathbb N}\) ist von Mengen aus \(2^X\) ist.
4. Sei \(\mathcal S\) eine \( \sigma \)-Algebra über \(X\) und \(M\in \mathcal S\). Begründe warum \(M\in 2^X\) ist.
   

b)

1. Begründe warum \(X\in \{\emptyset, X\}\) ist.
2. Begründe warum \(A^\complement\in \{\emptyset, X\}\) für jedes \(A\in \{\emptyset, X\}\) ist.
3. Begründe warum \(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\in \{\emptyset, X\}\) für jede Famillie \((A_n)_{n\in\mathbb N}\) von Mengen aus \(\{\emptyset, X\}\) ist.
4. Sei \(\mathcal S\) eine \( \sigma \)-Algebra über \(X\) und \(M\in \mathcal \{\emptyset, X\}\). Begründe warum \(M\in \mathcal S\) ist.