Zeigen Sie, dass f genau dann stetig ist, wenn

Question

Aufgabe:

es geht um folgende Aufgabe :

Es sei f: X --->Y eine Abbildung zwischen metrischen Räumen ( X, d_x  ) und ( Y , d_y  ). Zeigen Sie, dass f genau dann stetig ist, wenn

a) für jede offene Menge U ⊆ Y ist das Urbild f^-1 (U) ⊆ X offen

Mir fällt als Ansatz nur das Epsilon-Delta-Kriterium ein.... Habe aber nicht wirklich Ahnung ob das hier ein guter Ansatz ist, da Metrik noch neu ist.

Comments

Sei f stetig und U in Y eine offene Menge. Wir wählen einen beliebigen Punkt x0 aus f^-1 (U) und wollen zeigen, dass der Ball/ Kugel um xo mit Radius Delta in f^-1(U) enthalten ist (Definition Offenheit). Wenn x0 in f^-1(U) ist, dann ist f(x0) in U. U ist offen, damit ist der Ball mit K(f(x0,eps)) in U. Insbesondere ist f^-1 (K(f(x0,eps)) eine Teilmenge von f^-1(U). Und jetzt benutzen wir nur noch dass K(x0,Delta) eine Teilmenge von f^-1 (K(f(x0,eps)) ist (Epsilon-Delta für metrische Räume). Damit haben wir die Mengeninklusionen K(x0,Delta) ⊂ f^-1 (K(f(x0,eps)) ⊂ K(f(x0,eps)). Und somit die Behauptung.

Für die andere Richtung würde ich ein Widerspruchsbeweis machen.