Zeigen Sie: a) f: [0, ∞) →ℝ, f(x) = f(2x), ist genau dann stetig, wenn f konstant ist.

Question

Aufgabe:

Sei f: [0, ∞) →ℝ eine Funktion mit f(x) = f(2x) für alle x>0. Zeigen Sie:

a) f ist genau dann stetig, wenn f konstant ist.

b) f muss im Allgemeinen nicht konstant sein.

Problem/Ansatz:

a) auch als folgt formuliert werden: f ist stetig ⇔ f ist konstant. "⇐" konnte ich zeigen, aber ich weiss nicht wie ich "⇒" zeigen kann.

Bei b) weiss ich nicht, was es bedeutet "im Allgemeinen" konstant zu sein.

Answer 1

schreib die Setigkeitsbedingun an einer beliebigen Stelle x0 auf, dann setze f(x0)=f(2x0)

neue Überlegung: es gilt ja dann auch f(x/2) =f(x)

nimm eine Folge x_N= x:n)   a,a/2 ,...a/2^n die gegen 0 konvergiert, dann konvergiert f(x_n) gegen f(0)  also f(a)=f(0) für jedes a. damit ist f konstant=f(0)

b) im Allgemeinen: wenn man nichts besonderes wie z.B, Stetigkeit fordert, es könnte  also unstetige Funktionen geben

die einfachste, die du konstruieren kannst f(0)=1, f(x)=2 für x>0

aber es gibt auch andere f(x)=2 für x=2^k k ∈ ℤ,  f(x)=1 sonst

Gruß lul