Aloha :)
(a) Ein lineares Gleichungssystem der Form$$\begin{pmatrix}a_1 & b_1 & c_1\\a_2 & b_2 & c_2\\a_3 & b_3 & c_3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}$$kann man in Vektorschreibweise formulieren:$$x_1\cdot\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}+x_2\cdot\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}+x_3\cdot\begin{pmatrix}c_1\\c_2\\c_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}$$Wenn die 3 Vektoren \(\vec a,\vec b,\vec c\) voneinander linear unabhängig sind, kann man jeden beliebigen Vektor \(\vec y\) als Linearkombination dieser 3 Vektoren schreiben. Das Gleichungssystem hat dann immer genau eine Lösung \((x_1,x_2,x_3)\).
Wenn die 3 Vektoren \(\vec a,\vec b,\vec c\) voneinander linear abhängig sind, kann man mindestens einen von ihnen durch die beiden anderen ausdrücken. Wenn dies z.B. der Vektor \(\vec c\) ist, gibt es also eine Darstellung:$$\begin{pmatrix}c_1\\c_2\\c_3\end{pmatrix}=k_1\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}+k_2\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}$$Das hat Einfluss auf die linke Seite des Gleichungssystems:$$x_1\cdot\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}+x_2\cdot\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}+x_3\cdot\left[k_1\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}+k_2\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}\right]=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}$$$$\underbrace{(x_1+x_3\cdot k_1)}_{=\tilde x_1}\cdot\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}+\underbrace{(x_2+x_3\cdot k_2)}_{=\tilde x_2}\cdot\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}$$Wir verlieren also auf der linken Seite mindestens einen Vektor und haben nur noch 2 Variablen \(\tilde x_1,\tilde x_2\) übrig. Diese beiden Variablen sind durch 2 Koordinatengleichungen eindeutig festgelegt. Die dritte Koordinatengleichung ist dann entweder nicht erfüllt, dann gibt es keine Lösung, oder sie ist automatisch mit erfüllt, dann gibt es unendlich viele Lösungen.
Mit anderen Worten, wenn die 3 Vektoren linear unabhängig sind, hat das Gleichungssystem genau eine Lösung. Sind die 3 Vektoren jedoch linear abhängig, hat das Gleichungssystem entweder keine Lösung oder unendlich viele Lösungen.
(b) Für linear unabhängige Vektoren ist die Determinante ungleich null:$$\begin{vmatrix}1 & 2 & -5\\2 & 1 & 2\\1 & 1 & 2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 2 & -5\\0 & -3 & 12\\0 & -1 & 7\end{vmatrix}=-21+12=-9\ne0$$Die 3 Vektoren sind also linear unabhängig.
