Hallo,
für Aufgabe 1): Das Gleichungssystem $$\begin{cases}-z&+2x&=&-2y&-1\\y&+5&=&z&+x\\3x&-7&=&z&+y\end{cases}$$ kann umgeschrieben werden zu $$\begin{cases}2x&+2y&-z&=&-1\\-x&+y&-z&=&-5\\3x &-y &-z &= &7.\end{cases}$$ Jetzt kannst du das Gleichungssystem als Matrixgleichung $$\begin{pmatrix}2 & 2 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & -1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-5\\7\end{pmatrix}$$ oder mithilfe der erweiterten Koeffizientenmatrix $$ \begin{pmatrix}2 & 2 & -1 & \bigm| & -1\\ -1 & 1 & -1 & \bigm| & -5\\ 3 & -1 & -1 & \bigm|& 7\end{pmatrix}$$ darstellen.
Danach wendest du noch den Gaußalgorithmus an. Du musst dabei die Matrix in Zeilenstufenform bringen, dann kannst du die Lösungen des Gleichungssystem ganz einfach ablesen. Die Schritte überlasse ich dir!
Am Ende sollte die Matrix so aussehen: $$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 &\bigm| & 2\\ 0 & 1 & 0 &\bigm| &-2\\ 0 & 0 & 1 &\bigm| & 1\end{pmatrix}$$ Die Lösungen sind also $$\begin{cases}x=2\\y=-2\\z=1.\end{cases}$$
Bei Aufgabe 2 wendest du wiederum den Gaußalgorithmus an, dann erhältst du hier auch die gesuchten Zahlen \(a,b,c,d\).
Kleiner Tipp, als erstes rechnest du -1 Mal die erste plus die zweite Zeile, um unter dem Pivotelement die Nullen zu erzeugen: $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & \bigm| & 3\\ 1 & -2 & 2 & -1 & \bigm| & 4\\ \vdots & & & \ddots & \bigm| \end{pmatrix}\iff \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & \bigm| & 3\\ 0 & -3 & 1 & -2 & \bigm| & 1\\ \vdots & & & \ddots &\bigm| & \end{pmatrix}$$ Das setzt du solange fort, bis alle Einträge unter dem Pivotelement 1 in der ersten Spalte 0 sind. Das wird dann für alle Pivotelemente, die die Diagonale der Matrix bilden, wiederholt. Im Endeffekt möchtest du eine Matrix mit Einsen auf der Diagonale und Nullen darunter haben. Was über der Diagonalen steht, kann stehen bleiben.
Zum Vergleichen: Die Matrix sieht dann so aus:$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & \bigm| & 3\\ 0 & -3 & 1 & -2 & \bigm| & 1\\ 0 & 0 & -1 & -1 & \bigm| & -1\\ 0 & 0 & 0 & 4 &\bigm| & -4 \end{pmatrix} $$ Jetzt musst du von unten beginnend die Gleichungen nach \(d\), dann nach \(c\), dann nach \(b\) und schließlich nach \(a\) auflösen.
Kleiner Tipp zur letzten Zeile: \(4d=-4\iff d=-1\) ist zum Beispiel unsere erste Lösung. Diese Lösung setzt du jetzt in die vorletzte Gleichung ein, und löst nach \(c\) auf. Das führst du bis nach oben fort. Die vorletzte Gleichung sieht also so aus: $$\begin{aligned}-1c-1d&=-1 &&\lvert \;d=-1\\ -1c-1\cdot(-1)&=-1 \\ -1c+1&=-1 \\-1c&=-2\\ c&=2.\end{aligned}$$ Usw... Die Lösung des gesamten Gleichungssystems ist dann $$\begin{cases}a=1\\b=1\\c=2\\d=-1.\end{cases}$$
Ein einfaches Beispiel für den Gauß-Algorithmus: $$\begin{aligned}\begin{pmatrix} \textcolor{red}{1} & 1 & 1\\2 & 2& 2 \\ 6 & 8 & 10\end{pmatrix} & \xrightarrow{I\cdot (-2) + II} & \begin{pmatrix} \textcolor{red}{1} & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 6 & 8 & 10\end{pmatrix}\\ & \xrightarrow{I\cdot (-6) + II} & \begin{pmatrix}\textcolor{red}1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 4\end{pmatrix}\\&\xrightarrow{II\leftrightarrow III} & \begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\ 0 & \textcolor{red}{2} & 4\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\\&\xrightarrow{\phantom{I\leftrightarrow II}}&\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\ 0 & 2 & 4\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\end{aligned}$$
