Lösung von: Die Funktion f: ℝ\{1} →ℝ, f(x) = (x³-1)/(x-1) ist stetig.

Question 1

Aufgabe:

Die Funktion f: ℝ\{1} →ℝ, $ f(x)= \frac{x^{3} - 1}{x-1} $ ist stetig.

Bestimmen Sie den Grenzwert von f in 1. Wie kann f in 1 definiert werden, damit f auf ganz ℝ stetig ist?

Question 2

Hallo Diana,

Polynomdivision (x³ - 1) / (x-1) = x^2 + x + 1 $$→ \lim_{x \to 1} \frac{x^3-1}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x^2 + x + 1) = 3 $$

Bei Stetigkeit in x₀ muss gelten: $$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$$ Wenn man also f(1) = 3 definiert, hat man eine in ℝ stetige Funktion

$$ f_e(x) = \begin{cases} \frac{x^3-1}{x-1} &\text{für } x≠1\\ 3&\text{für } x=1 \end{cases} $$

Gruß Wolfgang

-Wolfgang- · Answer 1 · 2018-12-11T22:26:27+0000

Hallo Diana,

Polynomdivision (x³ - 1) / (x-1) = x^2 + x + 1 $$→ \lim_{x \to 1} \frac{x^3-1}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x^2 + x + 1) = 3 $$

Bei Stetigkeit in x₀ muss gelten: $$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$$ Wenn man also f(1) = 3 definiert, hat man eine in ℝ stetige Funktion

$$ f_e(x) = \begin{cases} \frac{x^3-1}{x-1} &\text{für } x≠1\\ 3&\text{für } x=1 \end{cases} $$

Gruß Wolfgang

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