Sei eine reele Funktion stetig, gilt ...

Question

Aufgabe:

Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) stetig und für ein \( x_{0} \in \mathbb{R} \) außerdem \( f\left(x_{0}\right)>0 \). Zeigen Sie: Dann ist \( f \) auf einem ganzen Intervall um \( x_{0} \) positiv, d.h. es gibt \( \delta>0 \), sodas für alle \( x \in\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right) \) gilt \( f(x)>0 \).

Answer 1

Wähle \( 0 < \varepsilon \le f(x_0) \) dann folgt aus der Stetigkeit, das es eine \( \delta \)-Umgebung \( U_\delta(x_0) \) von \( x_0 \) gibt, s.d.

$$ | f(x_0) - f(x) | < \varepsilon \le f(x_0) $$ für alle \( x \in U_\delta(x_0) \) gilt., und daraus \( f(x_0) - f(x) < f(x_0) \), also \( f(x) > 0 \) für alle \( x \in U_\delta(x_0) \)