Strahlensatz Beweise die Formeln für 3 Parellelen und 2 Strahlen.

Question

Es gilt g und h und k sind parallel es ist mithilfe des Strahlensatzes zu beweisen ( d ist durch Linie überdeckt)

f/d = c/a  und  b/ (a+c) = e/ (f+d)

Answer 1

Nach dem ersten Strahlensatz gelten die beiden Aussagen:

A) e / d = b / a 

sowie

B) ( e + f ) / d = ( b + c ) / a

 

Teil 1) Zu zeigen: f / d = c / a

Formt man die Aussage B) um, ergibt sich:

( e + f ) / d = ( b + c ) / a

<=> ( e / d ) + ( f / d )  = ( b / a ) + ( c / a )

das ist wegen A) :

<=> ( b / a ) + ( f / d )  = ( b / a ) + ( c / a )

<=> f / d = c / a

q.e.d.

 

Teil 2) Zu zeigen: b / ( a + c ) = e / ( f + d )

In Teil 1) wurde gezeigt:

f / d = c / a

umgeformt:

<=> c d = a f

Aus Aussage A) ergibt sich:

b / a = e / d 

mit 1 / ( a + c ) multiplizieren:

<=> b / ( a * ( a + c ) ) = e / ( d ( a + c ) ) 

mit a multiplizieren:

<=> b / ( a + c ) = e a / ( d ( a + c ) )

= e a / ( a d + c d )

= e a / ( a d + a f )

= e a / ( a ( d + f ) )

= e / ( d + f )

q.e.d.