Berechnen Sie den Schnittpunkt von E und g und geben Sie ihn in der Form "[x,y,z]" ein:

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Ebene E und die Gerade g durch

E: 2x−3y+z=−9
g: \( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} 0\\9\\0 \end{pmatrix} \) + λ \( \begin{pmatrix} 1\\3\\-2 \end{pmatrix} \)

Berechnen Sie den Schnittpunkt von E und g und geben Sie ihn in der Form "[x,y,z]" ein:

Berechnen Sie den Schnittwinkel von E und g im Gradmaß. Geben Sie den Winkel auf ganze Zahlen gerundet zwischen 0 und 90 an:

Problem/Ansatz:

Mit meinem vorgehen hab ich den Schnittpunkt der Ebene E und der Geraden g [-2, 3, 4].
und der Schnittwinkel zwischen der Ebene E und der Geraden g = 50 

aber leider ist das falsch.

Hat wer eine Idee wie man es richtig löst ?

Comments

Mit meinem vorgehen hab ich den Schnittpunkt ... [-2, 3, 4] ... und der Schnittwinkel = 50

Wie war denn Dein Vorgehen beim Schnittwinkel?

Ich sehe in der Aufgabe vier Gleichungen in vier Unbekannten. Dein Schnittpunkt stimmt.

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Mein Vorgehen war so
Schnittpunkt berechnen:

Habe zuerst die Gleichungen der Ebene und der Geraden gleich gesetzt:
x = 0 + λ
y = 9 + 3λ
z = 0 - 2λ
2x - 3y + z = -9
Dann das Gleichungssystem gelöst:
2(0 + λ) - 3(9 + 3λ) + (0 - 2λ) = -9
2λ - 27 - 9λ - 2λ = -9
-9λ - 27 = -9
-9λ = 18
λ = -2
Einsetzten:
x = 0 + λ = -2
y = 9 + 3λ = 3
z = 0 - 2λ = 4


Und den Schnittwinkel habe ich so berechnet:
Berechne den Winkel zwischen den Vektoren {2, -3, 1} und {1, 3, -2}:
cos(θ) = (a . b) / (||a|| ||b||)
cos(θ) = ((21) + (-33) + (1*-2)) / (sqrt(2^2 + (-3)^2 + 1^2) * sqrt(1^2 + 3^2 + (-2)^2))
cos(θ) = -9 / sqrt(14) * sqrt(14)
cos(θ) = -9 / 14
θ = arccos(-9 / 14) = 130 Grad
Da der Schnittwinkel zwischen 0 und 90 Grad liegen muss…
Komplementärwinkel:
180 - 130 = 50 Grad

Jedoch mach ich da was falsch... weiß aber nicht was.

Answer 1

Dein Schnittpunkt [-2, 3, 4] ist richtig

Beim Wikel berechnest du den Winkel zwischen dem Normalenvektor und dem Richtungsvektor der Geraden. Es geht aber um den Winkel Ebene-Gerade. Du musst also

130 - 90 = 40 Grad rechnen.

Mach dir auch immer eine Skizze bei Geogebra.

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