Bestimmen Sie den Abstand der Punkte A und B und geben Sie die Gleichung der Geraden g durch A und B an.

Question

Aufgabe:

1 b,

2 a,b,c

3a, c

und

4 a,b,c

Problem/Ansatz:

Ich habe schon etwas gerechnet, aber ich komme nicht weiter. Es handelt
sich hierbei um einen Übungszettel für meine Klausur nächste Woche.

Aufgaben:

Answer 1

Hallo,

zu 1b)

Bestimmt den Mittelpunkt zwischen A und B und stelle die Gleichung einer Geraden auf, die durch diesen Punkt verläuft und deren Richtungsvektor orthogonal zu dem Richtungsvektor der Geraden durch A und B ist.

Gruß, Silvia

Comments

warum orthogonal ?

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ich dachte ich soll einen punkt C bestimmen, keine Gerade?

ich verstehe auch nicht wie man da vorgeht also warum jetzt den mittelpunkt und auch noch orthogonal?

Wenn ich den Mittelpunkt nehmen also 1/2 dann hätte ich nicht mehr den gleichen Abstand sondern die Hälfte

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Wenn die Gerade durch den Mittelpunkt orthogonal zu der Geraden durch A und B ist, haben auch alle Punkte, die darauf sind, den gleichen Abstand zu A und B.

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ich habe es skizziert, und nur die Hälfte rausbekommen.

Ich nehme den Richtungsvektor *1/2 . dann wäre nur die hälfte der Strecke wie gesagt der Mittelpunkt.

Ich soll da auch nur einen Punkt und keine Gerade bestimmen

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Jeder Punkt auf der Geraden hat den gleichen Abstand zu A und B.

Mittelpunkt M (1|0|1,5), orthogonaler Vektor z.B. (2|1|0)

$h:\;\begin{pmatrix} 1\\0\\1,5 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 2\\1\\0 \end{pmatrix}$

Setze eine beliebige Zahl für r ein und du erhältst einen Punkt C.

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Sorry aber ich verstehe das echt nicht..

gar nichts davon.

Der Mittelpunkt hat nur die Hälfte des Abstands und wie kommt man auf den orthogonalen Vektor. Ich hätte doch einfach (-1) rechnen können statt 1/2

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Ich will nicht behaupten, dass mein Weg der Königsweg ist.

Was würdest du -1 rechnen? Wenn du eine andere Möglichkeit gefunden hast, umso besser.

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Laut deiner Erklärung wäre das so. Man sieht doch klar, das es sich nicht um den selben Abstand handelt sondern die hälfte.

Ich hätte jetzt -1 bei r eingesetzt, so würden sich die Gerade nicht berühren, weil man ja links lang läuft.

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Bei mir sieht das so aus:

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verstehe ich nicht so ganz warum der Mittelpunkt also 1/2 mal den Richtungsvektor auch der selbe Abstand ist.

Es handelt sich ja nicht um die ganze Strecke sondern um die Hälfte

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A und B sind gleich weit vom Mittelpunkt entfernt und somit ist jeder Punkt auf der Geraden, die senkrecht zu der Geraden durch A und B verläuft, auch gleich weit von diesen beiden Punkten entfernt.

Stell dir das Ganze zweidimensional vor:

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Warum muss denn der Richtungsvektor orthogonal sein?

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Sonst könnte es so aussehen:

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Ah Okey danke . Ich glaube ich verstehe es so langsam

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Wie bestimmt ich nun den Punkt C ?

Ich habe als Gleichung nun g:x= (1/0/1) + r(4/2/0)

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Die z-Koordinate des Ortsvektors stimmt nicht. Also die Gleichung wäre

$h:\,\vec{x}=\begin{pmatrix} 1\\0\\1,5 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 4\\2\\0 \end{pmatrix}$

Jetzt wählt du für r eine beliebige Zahl, um die Koordinaten von C zu bestimmen.

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Bei mir kommt da bei z 1 raus.

Wir haben ja

(0/2/1) + 0,5* (2/-4/0)

Wenn ich jetzt also 2 einsetze habe ich als Punkt : (9/4/1) raus. Was mache ich jetzt mit diesem Punkt?

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Nochmal:

$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} 2\\-4\\1 \end{pmatrix}$

Mittelpunkt der Strecke AB ist $M=\begin{pmatrix} 0\\2\\1 \end{pmatrix}+0,5\cdot\begin{pmatrix} 2\\-4\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\0\\1,5 \end{pmatrix}$

Ein zu der Geraden durch A und B senkrechter Vektor ist z.B. $\begin{pmatrix} 2 \\ 1\\0 \end{pmatrix}$

Damit ist die Gleichung der Geraden $h:\,\vec{x}=\begin{pmatrix} 1\\0\\1,5 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 2\\1\\0 \end{pmatrix}$

Setze ich für r beispielsweise 1 ein, erhalte ich die Koordinaten für C

$\begin{pmatrix} 1\\0\\1,5 \end{pmatrix}+1\cdot \begin{pmatrix} 2\\1\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\1\\1,5 \end{pmatrix}$

Setzt du für r andere Zahlen ein, erhältst du auch andere Koordianten. Aber es ist ja nur nach einem Punkt gefragt.

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Der Vektor AB lautet (2/-4/0)

A(0/2/1) ; B(2/-2/1)

Wenn ich für r am Ende irgendeine beliebige Zahl einsetzen kann, habe ich dann denselben Abstand ?

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Na toll, da habe ich die ganze Zeit mit einer falschen Koordinate gerechnet.

Die Gleichung für die senkrechte Gerade lautet also

$h:\;\vec{x}=\begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 2\\1\\0 \end{pmatrix}$

Und ja, egal welche Zahl du für r einsetzt, C hat den gleichen Abstand zu A wie zu B.

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Also müsste ich dann noch den Abstand von C zu A und zu C zu B ausrechnen?

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Das verlangt die Aufgabenstellung nicht.