Aufgabe:
Sei \( K \) ein Körper, \( V=K[x], P=x^{4}-5 x^{3}+9 x^{2}-7 x+2 \) und \( Q=x^{2}-3 x+2 \).
definiert \( f \sim g \Leftrightarrow P \mid(f-g) \) eine Äquivalenzrelation auf \( V \), und die Quotientenmenge \( W=V / \sim \) ist ein \( K \)-Vektorraum mit \( \alpha[f]+[g]:=[\alpha f+g] \) für \( f, g \in V \) und \( \alpha \in K \). Ferner ist die Abbildung \( \phi: W \rightarrow W,[f] \mapsto[Q f] \), wohldefiniert und \( K \)-linear.
(a) Beweisen Sie, dass \( \phi \) nilpotent ist, und bestimmen Sie die kleinste \( n \in \mathbb{N} \) mit \( \phi^{n}=0 \).
Problem/Ansatz:
Q teilt P. Allerdings komme ich damit jetzt nicht mehr weiter. Ich habe dann versucht [fQ] = [f*(f-g)] zu schreiben aber das bringt mich nicht weiter. Genauso wenig P = QR zu setzen wober R ein weiteres Polynom ist. Wäre um einen Tipp sehr dankbar. :D
