Aufgabe: Sei γ:[a,b]→ℝn eine Kurve, sei L:=L(γ), ψ(s):= \( \int\limits_{a}^{s} \)Iγ'(r)I dr die Bogenlänge (s∈[a,b]) und φ:=ψ-1. Dann ist γ° definiert als γ verkettet mit φ und nach Bogenlänge parametrisiert, d.h. es gilt Iγ°(σ)I=1 für alle σ∈[0;L]. Zeige, dass folgende Gleichungen gelten:
a): ψ'(s)*ψ''(s)=γ'(s)*γ''(s)
b): γ°''(t)(ψ(t))ψ'(t)4=γ''(t)ψ'(t)2-γ'(t)(γ'(t)*γ''(t)) (Verwende hierfür die Gleichheit γ(t)=γ°(ψ(t)))
c) Sei nun γ(t)=(t,f(t))T für ein f∈C2([a,b],ℝ). Zeige: κ(t)=\( \frac{If''(t)I}}{\sqrt[2]{1+f'(t)2}3} \)
