Aufgabe:
Sei ∅ ≠ M ⊂ ℝ und H(M) die Menge alle Häufungspunkte von M. Man zeige:
(a) \(\overline{M} \)= M ∪ H(M),
(b) ∂M = \(\overline{M} \) \ M˚ und ∂M ist abgeschlossen.
Problem/Ansatz:
Hallo ,
ist meine Lösung korrekt??
a)
1. M ∪ H(M)⊆ \(\overline{M} \) : x sei ein beliebiger Punkt in M ∪ H(M):
- x ∈ M ⇒ x liegt bereits in M, und daher liegt x auch in \(\overline{M} \)
-x ∈ H(M) ⇒ x ist ein Häufungspunkt von M ⇒ in jeder Umgebung von x liegen unendlich viele Punkte von M. Da M ⊆ \(\overline{M} \) , liegen diese Punkte auch in \(\overline{M} \). Daher liegt auch x in \(\overline{M} \).
⇒in beiden Fällen liegt jedes Element von M ∪ H(M) auch in \(\overline{M} \) ⇒ es gilt M ∪ H(M) ⊆ \(\overline{M} \)
2. \(\overline{M} \) ⊆ M ∪ H(M) : y sei ein beliebiger Punkt in \(\overline{M} \). Z.Z = y liegt entweder in M oder in H(M).
- Angenommen y ∉ M ⇒ y liegt in der Ergänzung von M. Da \(\overline{M} \) der Abschluss von M ist muss y ein Häufungspunkt von M sein. ⇒ y liegt in H(M).
-wenn y ∈ M ⇒ y liegt in M
⇒in beiden Fällen liegt das Element von \(\overline{M} \) auch in M ∪ H(M) ⇒ es gilt \(\overline{M} \) ⊆ M ∪ H(M)
b)
1.
∂M=\(\overline{M} \) \ M˚ :
z.z ∂M ⊆ \(\overline{M} \) \ M˚: z sei ein beliebiger Punkt in ∂M ⇒ Da z im Rand von M liegt, ist z weder ein innerer Punkt von M noch von der Ergänzung von M. ⇒ z liegt in \(\overline{M} \), aber nicht in M˚.
z.z \(\overline{M} \) \ M˚ ⊆ ∂M : sei x ein beliebiger Punkt in \(\overline{M} \) \ M˚ ⇒ x kann nicht im inneren von M liegen ⇒ x ist kein innerer Punkt von M. ⇒ x liegt entweder in M oder in der Ergänzung von M.
angenommen xy liegt in der Ergänzung von M ⇒ x ∉ M. Da x in \(\overline{M} \) liegt ist x ein Häufungspunkt von M ⇒ x liegt auch in ∂M. Wenn x in M liegt liegt x ebenfalls in ∂M.
⇒ es gilt ∂M= \(\overline{M} \) \ M˚
2. z.z ∂M ist abgeschlossen:
Um zu zeigen, dass ∂M abgeschlossen ist, müssen wir zeigen, dass der Komplementraum von ∂M offen ist.
-wenn p ∉ M ⇒ p liegt nicht in \(\overline{M} \) ⇒es gibt eine offene Umgebung von p, welche vollständig im Komplementraum von \(\overline{M} \) liegt. da M ⊆ \(\overline{M} \) liegt diese Umgebung auch vollständig im Komplementraum von M.
- wenn p ∈ M, aber p ∉ M˚ ⇒ p liegt in \(\overline{M} \) aber nicht im inneren von M ⇒ es gibt eine offene Umgebung von p, welche vollständig im Komplementraum von M˚ liegt.
⇒ in beiden Fällen gibt es eine offene Umgebung von p, welche vollständig im Komplementraum von ∂M liegt ⇒ der Komplementraum ∂M ist offen und somit abgeschlossen.
ist das so richtig? bin mir sehr unsicher
gruß gundo
