Ableitung und Nullstellen dieser Funktion f(x) := 2000x*e^{-0,5x}+2500 bestimmen?

Question

Also ich hab mal eine Frage: wenn man die Funktion

f(x) := 2000x*e^{-0,5x}+2500

hat , wie leitet man die ab? Fällt die 2500 einfach weg? Ich hab da jetz

f´(x)=  2000x*-0,5*e^{-0,5x} =-1000x*e^{-0,5x}
raus und davon muss man dann in der nächsten aufgabe die Nullstellen bestimmen, aber in allen teilen ist doch x?!

Also hab ich dann
-1000x*e^{-0,5x}=0 / +1000x

e^{-0,5x} = 1000x /ln

-0,5x=ln1000x

irgendwas hab ich also falsch gemacht....

Answer 1

Du hast ein Produkt wo in beiden Teilen ein x vorkommt. Daher Produktregel.

f(x) = 2000·x·e^{- 0.5·x} + 2500

f'(x) = 2000·e^{- 0.5·x} + 2000·x·e^{- 0.5·x}·(- 0.5) = 1000·e^{- 0.5·x}·(2 - x)

Das war die Ableitung. Jetzt zu den Nullstellen f(x) = 0

2000·x·e^{- 0.5·x} + 2500 = 0

Das können wir leider nicht algebraisch lösen. Daher kommt nur eine Lösung durch Näherungsverfahren in Frage.

Die Einzige Nullstelle die wir finden ist zwischen -1 und 0 bei x = -0.8267625638

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Hier eine Skizze des Graphen